Question

已知直線y=kx+1與x軸交于點A，與y軸交于點B，與拋物線y=ax²-x+c交于點A和點C(

1

2

，

5

4

)，拋物線的頂點為D．
（1）求直線和拋物線的解析式；
（2）在坐標系中畫出兩個函數(shù)圖象；
（2）求△ABD的面積．

Answer 1

考點：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,一次函數(shù)的圖象,待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,二次函數(shù)的圖象

專題：計算題

分析：（1）把C（

1

2

，

5

4

）代入y=kx+1可求出k，則可確定直線的解析式；再確定A點坐標，然后把A（-2，0）、C（

1

2

，

5

4

）代入y=ax²-x+c得到關(guān)于a、c的方程組，解方程組求出a、c即可確定拋物線的解析式；
（2）利用描點法畫出兩函數(shù)的圖象；
（3）先得到拋物線頂點D的坐標為（-

1

2

，

9

4

），B點坐標為（0，1），
然后利用S_△ABD+S_△OAB=S_△ADE+S_梯形DBOE進行計算．

解答：解：（1）把C（

1

2

，

5

4

）代入y=kx+1得

5

4

=

1

2

k+1，解得k=

1

2

，
所以直線的解析式為y=

1

2

x+1；
令y=0，則

1

2

x+1=0，解得x=-2，
所以A點坐標為（-2，0），
把A（-2，0）、C（

1

2

，

5

4

）代入y=ax²-x+c得

4a+2+c=0 1 4 a- 1 2 +c= 5 4

，解得

a=-1 c=2

，
所以拋物線的解析式為y=-x²-x+2；
（2如圖，
（3）設(shè)拋物線的對稱軸交x軸于D點，
拋物線頂點D的坐標為（-

1

2

，

9

4

），B點坐標為（0，1），
∵S_△ABD+S_△OAB=S_△ADE+S_梯形DBOE，
∴S_△ABD=

1

2

×

3

2

×

9

4

+

1

2

（1+

9

4

）×

1

2

-

1

2

×1×2
=

27

16

+

13

16

-1
=

3

2

．

點評：本題考查了待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式：設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），再把三個點的坐標代入得到關(guān)于a、b、c的方程組，然后解方程組求出a、b、c的值，從而確定二次函數(shù)的解析式．