Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點O為原點，平行于x軸的直線與拋物線L：y=ax2相交于A,B兩點（點B在第一象限），點D在AB的延長線上．

（1）已知a=1，點B的縱坐標(biāo)為2．

①如圖1，向右平移拋物線L使該拋物線過點B,與AB的延長線交于點C,求AC的長．

②如圖2，若BD=AB，過點B,D的拋物線L2，其頂點M在x軸上，求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式．

（2）如圖3，若BD=AB，過O,B,D三點的拋物線L3，頂點為P,對應(yīng)函數(shù)的二次項系數(shù)為a3，過點P作PE∥x軸，交拋物線L于E,F兩點, 求的值，并直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）①4，②

【解析】

試題分析：（1）①令y=2代入y=x2，可求得A、B坐標(biāo)，進(jìn)而可求得AB長度，而AC=2AB，AC長度可求．②根據(jù)拋物線對稱性可求得M坐標(biāo)，利用頂點式設(shè)L2的解析式，再把B點坐標(biāo)帶入即可求得解析式；（2）過點B作BK⊥x軸于點K．設(shè)OK=t，則可利用t表示出G點坐標(biāo)，L3解析式可表示出來，有因為L3經(jīng)過點B代入化簡就可求得的值，再利用L3解析式表示出頂點P的縱坐標(biāo)，再代到L中可求得EF長度，比值即可求出．

試題解析：（1）①對于二次函數(shù)y=x2，當(dāng)y＝2時，2＝x2，解得x1＝，x2＝－，∴AB＝2． ∵平移得到的拋物線L1經(jīng)過點B，∴BC＝AB＝2，∴AC＝4．② 記拋物線L2的對稱軸與AD相交于點N,根據(jù)拋物線的軸對稱性，得BN=DB=, ∴．設(shè)拋物線L2的函數(shù)表達(dá)式為．由①得，B點的坐標(biāo)為（，2）,∴，解得a=4．拋物線L2的函數(shù)表達(dá)式為．

（2）如圖，拋物線L3與x軸交于點G,其對稱軸與x軸交于點Q,過點B作BK⊥x軸于點K．設(shè)OK=t,則AB=BD=2t, 點B的坐標(biāo)為(t，at2)，根據(jù)拋物線的軸對稱性，得OQ=2t,OG=2OQ=4t．設(shè)拋物線L3的函數(shù)表達(dá)式為y=a3x（x-4t），∵該拋物線過點B(t，at2)，∴at2=a3t（t-4t），因t≠0，得．．