Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點P是AB延長線上一點，PC切⊙O于點C，連接AC，過點O作AC的垂線交AC于點D，交⊙O于點E．已知AB﹦8，∠P=30°．
（1）求線段PC的長；
（2）求陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC，由PC為圓O的切線，根據(jù)切線的性質得到OC與PC垂直，可得三角形OCP為直角三角形，同時由直徑AB的長求出半徑OC的長，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義得到tanP為∠P的對邊OC與鄰邊PC的比值，根據(jù)∠P的度數(shù)，利用特殊角的三角函數(shù)值求出tanP的值，由tanP及OC的值，可得出PC的長；
（2）由直角三角形中∠P的度數(shù)，根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余求出∠AOC的度數(shù)，進而得出∠BOC的度數(shù)，由OD與BC垂直，且OC=OB，利用等腰三角形的三線合一得到OD為∠BOC的平分線，可求出∠COD度數(shù)為60°，再根據(jù)直角三角形中兩銳角互余求出∠OCD度數(shù)為30°，根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，由斜邊OC的長求出OD的長，先由∠COD的度數(shù)及半徑OC的長，利用扇形的面積公式求出扇形COE的面積，再由OD與CD的長，利用直角三角形兩直角邊乘積的一半求出直角三角形COD的面積，用扇形COE的面積減去三角形COD的面積，即可求出陰影部分的面積．
解答：解：（1）連接OC，
∵PC切⊙O于點C，
∴OC⊥PC，
∵AB=8，
∴OC=AB=4，
又在直角三角形OCP中，∠P=30°，
∴tanP=tan30°=，
即PC==4；

（2）∵∠OCP=90°，∠P=30°，
∴∠COP=60°，
∴∠AOC=120°，
又AC⊥OE，OA=OC，
∴OD為∠AOC的平分線，
∴∠COE=∠AOC=60°，又半徑OC=4，
∴S_扇形OCE==，
在Rt△OCD中，∠COD=60°，
∴∠OCD=30°，
∴OD=OC=2，
根據(jù)勾股定理得：CD==2，
∴S_△OCD=DC•OD=×2×2=2，
則S_陰影=S_扇形OCE-S_△OCD=-2．
點評：此題考查了切線的性質，含30°角的直角三角形的性質，等腰三角形的性質，銳角三角函數(shù)定義，以及扇形的面積公式，遇到已知切線的類型題時，常常連接圓心與切點，利用切線的性質得出垂直，利用直角三角形的性質來解決問題．