Question

在平面直角坐標系xOy中，拋物線經(jīng)過原點O， 點B(-2，n)在這條拋物線上.

（1）求拋物線的解析式；

（2）將直線沿y軸向下平移b個單位后得到直線l， 若直線l經(jīng)過B點，求n、b的值；

（3）在（2）的條件下，設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點C，直線l與y軸交于點D，且與拋物線的對稱軸交于點E.若P是拋物線上一點，且PB=PE，求P點的坐標.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）3，1；（3）(，)或(，).

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)拋物線經(jīng)過原點即可求得m的值，再結(jié)合二次項系數(shù)不為0即可得到結(jié)果；

（2）由點B(-2，n)在拋物線上可求得n的值，即得B點的坐標，根據(jù)平移的規(guī)律可得直線l的解析式為，由直線l經(jīng)過B點即可求得結(jié)果；

（3）拋物線的對稱軸為直線x=2，則對稱軸與x軸的交點C的坐標為(2，0)，直線l與y軸、直線x=2的交點坐標分別為 D(0，-1)、E(2，-5).過點B作BG⊥直線x=2于G，與y軸交于F.則BG=4.在Rt△BGC中，根據(jù)勾股定理可求得CB的長，過點E作EH⊥y軸于H.則點H的坐標為 (0，-5).證得△DFB≌△DHE，即可得到點P在直線CD上，即有符合條件的點P是直線CD與該拋物線的交點.設(shè)直線CD的解析式為y="kx+a." 將D(0，-1)、C(2，0)代入即可求得直線CD的解析式，從而求得結(jié)果.

（1）∵拋物線經(jīng)過原點，

∴m²-6m+8=0．解得m₁=2，m₂=4．

由題意知m¹4，

∴m=2

∴拋物線的解析式為；

（2）∵點B(-2，n)在拋物線上，

∴n=3．

∴B點的坐標為(–2，3) ．

∵直線l的解析式為，直線l經(jīng)過B點，

∴．

∴；

（3）∵拋物線的對稱軸為直線x=2，直線l的解析式為y=-2x-1，

∴拋物線的對稱軸與x軸的交點C的坐標為(2，0)，

直線l與y軸、直線x=2的交點坐標分別為 D(0，-1)、E(2，-5).

過點B作BG⊥直線x=2于G，與y軸交于F.

則BG=4.    

在Rt△BGC中，.

∵CE=5，

∴CB=CE. 

過點E作EH⊥y軸于H.

則點H的坐標為 (0，-5).

∵點F、D的坐標為F(0，3)、D(0，-1)，

∴FD=DH=4，BF=EH=2，∠BFD=∠EHD=90°.

∴△DFB≌△DHE .

∴DB="DE."

∵PB=PE，

∴點P在直線CD上.

∴符合條件的點P是直線CD與該拋物線的交點.

設(shè)直線CD的解析式為y="kx+a."

將D(0，-1)、C(2，0)代入，得 解得

∴直線CD的解析式為.

設(shè)點P的坐標為(x，)，

∴=.

解得 ，.

∴，.

∴點P的坐標為(，)或(，).

考點：二次函數(shù)的綜合題

點評：此類問題是初中數(shù)學的重點和難點，在中考中極為常見，一般以壓軸題形式出現(xiàn)，難度較大.