Question

如圖，已知一次函數(shù)的圖象與x軸和y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在線段BA上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)B向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)D在線段AO上以同樣的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．
（1）求線段AB的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△ACD的面積等于△AOB面積的；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△ACD是等腰三角形．

Answer 1

解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=3；當(dāng)y=0時(shí)，x=4，
∴A（4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB==5；

（2）如圖1，作CH⊥OA于H，
則△ACH～△ABO，
∴
∴
∴
∴=
=，
，
∴，
即4t²-20t+9=0
解得：（舍去），
故時(shí)，；

（3）①如圖2，當(dāng)AC=AD時(shí)，5-t=t，
∴解得：（符合題意）；
②如圖3，當(dāng)AC=CD時(shí)，過點(diǎn)C作CH⊥AD于點(diǎn)H，
由（2）得出：CH=，AH=DH=t，
∴==，
解得：（符合題意），
③如圖4，當(dāng)AD=CD時(shí)，過點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，
∵∠OAB=∠HAD，∠DHA=∠BOA=90°，
∴△ADH∽∽ABO，
∴=，
=
解得：（符合題意），
故t為或或時(shí)△ACD是一個(gè)等腰三角形．
分析：（1）首先容易求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求出OA，OB的長(zhǎng)度，再利用勾股定理求AB；
（2）首先表示出△ACD的面積，求出△AOB的面積，再利用△ACD的面積等于△AOB面積的求出即可；
（3）分別根據(jù)①當(dāng)AC=AD時(shí)，②當(dāng)AC=CD時(shí)，③當(dāng)AD=CD時(shí)，利用相似三角形的性質(zhì)求出即可．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理等知識(shí)，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵，不要漏解．