Question

【題目】在等腰三角形ABC中，AB=AC，O為AB上一點，以O(shè)為圓心，OB長為半徑的圓交BC于D，DE⊥AC交AC于E．

（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若⊙O與AC相切于F，AB=AC=8cm，sinA= ，求⊙O的半徑的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1，連接OD，

∵OB=OD，

∴∠B=∠ODB，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∴∠ODB=∠C，

∴OD∥AC．

又DE⊥AC，

∴DE⊥OD．

∴DE是⊙O的切線

（2）解：⊙O與AC相切于F點，如圖2，連接OF，

則：OF⊥AC．

在Rt△OAF中，sinA= ，

∴OA= OF，

又AB=OA+OB=8，

∴ OF+OF=8，

∴OF=3cm．

【解析】（1）根據(jù)切線的判定定理，只需連接OD，證明OD⊥DE．已知DE⊥AC，故利用同位角相等，兩條直線平行就可證明；（2）根據(jù)切線的性質(zhì)定理，連接過切點的半徑，運用銳角三角函數(shù)的定義，用半徑表示OA的長，再根據(jù)AB的長列方程求解．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解等腰三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識，掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）．