Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AD是弦，OC⊥AD于F，交⊙O于點E，∠BED=∠C．
（1）求證：AC為⊙O的切線；
（2）若OA=6，AC=8，求BD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證明AC為⊙O的切線，只需證得∠OAC=90°即可；
（2）如圖，連接BD構(gòu)建直角△ABD．然后通過解直角△ABD、直角△OAC來求線段BD的長度．
解答：解：（1）∵OC⊥AD，
∴∠FOA+∠FAO=90°．   
∵∠BED=∠C，∠BED=∠FAO，
∴∠C=∠FAO，
∴∠FOA+∠C=90°，
∴∠OAC=90°，
又OA是圓O的半徑，
∴AC為⊙O的切線；

（2）如圖，連接BD，則∠ADB=90°．
∵∠OAC=90°，且OA=6，AC=8，
∴在直角△AOC中，由勾股定理得OC===10．
又∵∠C=∠FAO，
∴sin∠C=sin∠FAO，即=，
∴BD==7.2，即線段BD的長度是7.2．
點評：本題考查了圓周角定理，切線的判定與性質(zhì)．解答（2）題時，借用了勾股定理來求線段OC的長度的．