【題目】如圖1,AB為半圓O的直徑,D為BA的延長線上一點,DC為半圓O的切線,切點為C.
(1)求證:∠ACD=∠B;
(2)如圖2,∠BDC的平分線分別交AC,BC于點E,F(xiàn);
①求tan∠CFE的值;
②若AC=3,BC=4,求CE的長.

【答案】
(1)

證明:如圖1中 ,連接OC.

∵OA=OC,

∴∠1=∠2,

∵CD是⊙O切線,

∴OC⊥CD,

∴∠DCO=90°,

∴∠3+∠2=90°,

∵AB是直徑,

∴∠1+∠B=90°,

∴∠3=∠B


(2)

解:①∵∠CEF=∠ECD+∠CDE,∠CFE=∠B+∠FDB,

∵∠CDE=∠FDB,∠ECD=∠B,

∴∠CEF=∠CFE,∵∠ECF=90°,

∴∠CEF=∠CFE=45°,

∴tan∠CFE=tan45°=1.

②在RT△ABC中,∵AC=3,BC=4,

∴AB= =5,

∵∠CDA=∠BDC,∠DCA=∠B,

∴△DCA∽△DBC,

= = ,設(shè)DC=3k,DB=4k,

∵CD2=DADB,

∴9k2=(4k﹣5)4k,

∴k= ,

∴CD= ,DB= ,

∵∠CDE=∠BDF,∠DCE=∠B,

∴△DCE∽△DBF,

,設(shè)EC=CF=x,

,

∴x=

∴CE=


【解析】(1)利用等角的余角相等即可證明.
    (2)①只要證明∠CEF=∠CFE即可.②由△DCA∽△DBC,得 = = = ,設(shè)DC=3k,DB=4k,由CD2=DADB,得9k2=(4k﹣5)4k,由此求出DC,DB,再由△DCE∽△DBF,得 = ,設(shè)EC=CF=x,列出方程即可解決問題.本題考查切線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識,解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形,利用相似三角形的性質(zhì)解決問題,學(xué)會用方程的思想思考問題,屬于中考常考題型.

練習(xí)冊系列答案
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學(xué)習(xí)小組

體育

美術(shù)

科技

音樂

寫作

奧數(shù)

人數(shù)

72

36

54

18

(1)七年級共有學(xué)生 人;

(2)在表格中的空格處填上相應(yīng)的數(shù)字;

(3)表格中所提供的六個數(shù)據(jù)的中位數(shù)是

(4)眾數(shù)是

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