Question

如圖，利用一面墻（墻長(zhǎng)為15m）和30m長(zhǎng)的籬笆來(lái)圍矩形場(chǎng)地，若設(shè)垂直墻的一邊長(zhǎng)為x（m），圍成的矩形場(chǎng)地的面積為y（m²）．
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；
（2）怎樣圍成一個(gè)面積為112m²的矩形場(chǎng)地？
（3）若要圍成一個(gè)面積最大的矩形場(chǎng)地，則矩形場(chǎng)地的長(zhǎng)和寬各應(yīng)是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用

專(zhuān)題：應(yīng)用題

分析：（1）表示出矩形的長(zhǎng)和款可得出y和x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)每條邊長(zhǎng)大于零可得出自變量的范圍．
（2）將y=112代入（1）所得的關(guān)系式，然后解出x的值后判斷，即可得出答案．
（3）利用配方法求二次函數(shù)的最值可得出答案，注意自變量的范圍．

解答：解：（1）∵AD=BC=x，∴AB=30-2x，
由題意得y=x（30-2x），
=-2x²+30x（

15

2

＜x＜15）；

（2）當(dāng)y=112時(shí)得：-2x²+30x=112，
解得：x₁=7，x₂=8，
當(dāng)x=7時(shí)，AD=BC=7m，AB=30-2×7=16m（大于圍墻的長(zhǎng)度，舍去）
當(dāng)x=8時(shí)，AD=BC=8m，AB=30-2×8=14m，（符合題意）．
∴當(dāng)平行于墻面的邊長(zhǎng)為14m，鄰邊長(zhǎng)為8m時(shí)，可以圍成面積為112m²的矩形場(chǎng)地．

（3）y=-2x²+30x=-2（x-

15

2

）2+

225

2

，
∴當(dāng)x=

15

2

m時(shí)，圍成的面積最大，此時(shí)矩形的長(zhǎng)為

15

2

，寬為15．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，不僅是一道實(shí)際問(wèn)題，而且結(jié)合了矩形的性質(zhì)，解答此題要注意以下問(wèn)題：（1）矩形的一邊為墻，且墻的長(zhǎng)度不超過(guò)30米；（2）根據(jù)矩形的面積公式列一元二次方程．