Question

（2012•南通一模）如圖1，拋物線y=nx²-11nx+24n （n＜0）與x軸交于B、C兩點（點B在點C的左側(cè)），拋物線上另有一點A在第一象限內(nèi)，且∠BAC=90°．
（1）填空：點B的坐標為（

（3，0）

），點C的坐標為（

（8，0）

）；
（2）連接OA，若△OAC為等腰三角形．
①求此時拋物線的解析式；
②如圖2，將△OAC沿x軸翻折后得△ODC，點M為①中所求的拋物線上點A與點C兩點之間一動點，且點M的橫坐標為m，過動點M作垂直于x軸的直線l與CD交于點N，試探究：當m為何值時，四邊形AMCN的面積取得最大值，并求出這個最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)與x軸交點坐標求法，解一元二次方程即可得出；
（2）①利用菱形性質(zhì)得出AD⊥OC，進而得出△ACE∽△BAE，即可得出A點坐標，進而求出二次函數(shù)解析式；
②首先求出過C、D兩點的坐標的直線CD的解析式，進而利用S_{四邊形AMCN}=S_△AMN+S_△CMN求出即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=nx²-11nx+24n （n＜0）與x軸交于B、C兩點（點B在點C的左側(cè)），
∴拋物線與x軸的交點坐標為：0=nx²-11nx+24n，
解得：x₁=3，x₂=8，
∴OB=3，OC=8，
故B點坐標為（3，0），C點坐標為：（8，0）；

（2）①如圖1，作AE⊥OC，垂足為點E
∵△OAC是等腰三角形，∴OE=EC=

1

2

×8=4，∴BE=4-3=1，
又∵∠BAC=90°，∴△ACE∽△BAE，∴

AE

BE

=

CE

AE

，
∴AE²=BE•CE=1×4，∴AE=2，
∴點A的坐標為 （4，2），
把點A的坐標 （4，2）代入拋物線y=nx²-11nx+24n，得n=-

1

2

，
∴拋物線的解析式為y=-

1

2

x²+

11

2

x-12，

②∵點M的橫坐標為m，且點M在①中的拋物線上，
∴點M的坐標為 （m，-

1

2

m²+

11

2

m-12），由①知，點D的坐標為（4，-2），
則C、D兩點的坐標求直線CD的解析式為y=

1

2

x-4，
∴點N的坐標為 （m，

1

2

m-4），
∴MN=（-

1

2

m²+

11

2

m-12）-（

1

2

m-4）=-

1

2

m²+5m-8，
∴S_{四邊形AMCN}=S_△AMN+S_△CMN=

1

2

MN•CE=

1

2

（-

1

2

m²+5m-8）×4，
=-（m-5）²+9，
∴當m=5時，S_{四邊形AMCN}=9．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)與坐標軸交點坐標求法以及菱形性質(zhì)和四邊形面積求法等知識，根據(jù)已知得出△ACE∽△BAE是解決問題的關(guān)鍵．