Question

16．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以BC為半徑作⊙B，交AB于點(diǎn)D，交AB的延長線于點(diǎn)E，連接CD、CE．
（1）求證：△ACD∽△AEC；
（2）當(dāng)$\frac{AC}{BC}$=$\frac{4}{3}$時，求tanE；
（3）若AD=4，AC=4$\sqrt{3}$，求△ACE的面積．

Answer 1

分析 （1）利用圓周角定理得到∠DCE=90°，而∠ACB=90°，則∠1=∠2，加上公共角，則可判斷△ACD∽△AEC；
（2）利用由$\frac{AC}{BC}$=$\frac{4}{3}$設(shè)AC=4k，BC=3k，由勾股定理計算出AB=5k，則AE=8k，再由△ACD∽△AEC，利用相似比得到$\frac{CD}{CE}$=$\frac{AC}{AE}$=$\frac{1}{2}$，然后根據(jù)正切的定義可得tanE的值；
（3）作CH⊥AE于H，如圖，由△ACD∽△AEC，利用相似比得到AE=12，CE=$\sqrt{3}$CD，則DE=AE-AC=8，在Rt△CDE中利用三角函數(shù)和特殊角的三角形函數(shù)值得到∠E=30°，則可計算出CD=$\frac{1}{2}$DE=4，CE=4$\sqrt{3}$，接著計算出CH，然后根據(jù)三角形面積公式求解．

解答 （1）證明：∵DE為直徑，
∴∠DCE=90°，即∠2+∠DCB=90°，
∵∠ACB=90°，即∠1+∠DCB=90°，
∴∠1=∠2，
而∠CAD=∠EAC，
∴△ACD∽△AEC；
（2）解：由$\frac{AC}{BC}$=$\frac{4}{3}$，設(shè)AC=4k，則BC=3k，
∴BD=BE=3k，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5k，
∴AE=AB+BE=5k+3k=8k，
在Rt△CDE中，tanE=$\frac{CD}{CE}$，
∵△ACD∽△AEC，
∴$\frac{CD}{CE}$=$\frac{AC}{AE}$=$\frac{4k}{8k}$=$\frac{1}{2}$，
∴tanE=$\frac{1}{2}$；
（3）作CH⊥AE于H，如圖，
∵△ACD∽△AEC，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AC}{AE}$=$\frac{CD}{CE}$，即$\frac{4}{4\sqrt{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{AE}$=$\frac{CD}{CE}$，解得AE=12，CE=$\sqrt{3}$CD，
∴DE=AE-AC=8，
在Rt△CDE中，∵tanE=$\frac{CD}{CE}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠E=30°，
∴CD=$\frac{1}{2}$DE=4，CE=4$\sqrt{3}$，
在Rt△CHE中，CH=$\frac{1}{2}$CE=2$\sqrt{3}$，
∴△ACE的面積=$\frac{1}{2}$×12×2$\sqrt{3}$=12$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了圓的綜合題：熟練掌握圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì)；會運(yùn)用相似比表示兩線段之間的關(guān)系和計算線段的長；記住特殊角的三角函數(shù)值．