Question

已知拋物線y=（x-2）²-m²（常數(shù)，n＞0）的頂點(diǎn)為P．
（1）寫出拋物線的開口方向和P點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
（2）若此拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)從左到右分別為A、B，并且∠APB=90°，試求△ABP的周長．

Answer 1

分析：（1）拋物線的解析式中，二次項(xiàng)系數(shù)決定開口的方向和開口的大小，本題中拋物線的二次項(xiàng)系數(shù)為1，因此開口向上．由于本題的拋物線的解析式是頂點(diǎn)式表達(dá)式．因此可直接得出頂點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2．
（2）求△ABP的周長，關(guān)鍵是確定三角形三頂點(diǎn)的坐標(biāo)．可先根據(jù)拋物線的解析式用m表示出A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，那么AB的差就是這兩個(gè)橫坐標(biāo)的差的絕對值，由于∠APB=90°，可得出△APB是等腰直角三角形，因此P點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對值應(yīng)該是AB長的一半，由此可求出m的值．進(jìn)而可求出A、B、P三點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出△ABP的周長．

解答：解：（1）拋物線開口向上，頂點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2；

（2）如圖，設(shè)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（x₁，0）、B（x₂，0）．
由（x-2）²-m²=0，
∵m＞0，
∴x₁=-m+2，x₂=m+2．
AB=x₂-x₁=（m+2）-（-m+2）=2m．
∵P為拋物線的頂點(diǎn)．
又∵拋物線對稱軸為AB的垂直平分線，
∴∠PAB=45°．
因此AD=PD
∴PD=

1

2

AB．
即m²=

1

2

•2m．
∵m＞0．
∴m=1
由此可求得：AB=2，AP=BP=

2

∴△APB的周長為2+2

2

．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（即韋達(dá)定理）．