Question

如圖，已知矩形ABCD內接于⊙O，BD為⊙O直徑，將△BCD沿BD所在的直線翻折后，得到點C的對應點N仍在⊙O上，BN交AD與點M．若∠AMB=60°，⊙O的半徑是3cm．
（1）求點O到線段ND的距離；
（2）過點A作BN的平行線EF，判斷直線EF與⊙O的位置關系并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點O作OG⊥ND于點G，OG∥BN，由矩形ABCD，可知∠N=∠C=90°=∠OGD，再解直角三角形OGD，求出OG．
（2）先判斷是相切然后再證明，連接OA交BN與H，由翻折得∠DBC=∠DBN，求出∠GOD，再證明△ABO是正三角形，最后證明OA⊥EF．
解答：解：（1）過點O作OG⊥ND于點G
∴∠OGD=90°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠C=90°，
由翻折得
∠N=∠C=90°=∠OGD，
∴OG∥BN，
∵∠AMB=60°，
∴∠BMD=120°，
易證：△ABM≌△NDM，
∴MB=MD，
∴∠NBD=30°，
∴∠GOD=30°，
在Rt△OGD中，cos30°=，OD=3，
∴OG=（cm）

（2）相切．
證明：連接OA交BN與H，
∵∠DBN=30°，
由翻折得∠DBC=∠DBN=30°．
∵∠ABC=90°，
∴∠ABO=60°，
∵OA=OB，
∴△ABO是等邊三角形．
∴∠AOB=60°，
∴∠BHO=90°，
又∵EF∥BN，
∴∠FAH=90°，
∴OA⊥EF．
∴EF與⊙O相切．
點評：本題考查到切線的判定、折疊問題和矩形的性質，正確的添加輔助線是關鍵，只有作好輔助線才能使解題更加輕便．