Question

已知雙曲線y=

k

x

與直線y=

1

4

x相交于A、B兩點．第一象限上的點M（m，n）（在A點左側）是雙曲線y=

k

x

上的動點．過點B作BD∥y軸交x軸于點D．過N（0，-n）作NC∥x軸交雙曲線y=

k

x

于點E，交BD于點C．
（1）若點D坐標是（-8，0），求A、B兩點坐標及k的值．
（2）若B是CD的中點，四邊形OBCE的面積為4，求直線CM的解析式．

Answer 1

分析：（1）根據B點的橫坐標為-8，代入y=

1

4

x中，得y=-2，得出B點的坐標，即可得出A點的坐標，再根據k=xy求出即可；
（2）根據S_矩形DCNO=2mn=2k，S_△DBO=

1

2

mn=

1

2

k，S_△OEN=

1

2

mn=

1

2

k，即可得出k的值，進而得出B，C點的坐標，再求出解析式即可．

解答：解：（1）∵D（-8，0），
∴B點的橫坐標為-8，代入y=

1

4

x中，得y=-2．
∴B點坐標為（-8，-2）．
∵A、B兩點關于原點對稱，∴A（8，2）．
∴k=xy=8×2=16；

（2）∵N（0，-n），B是CD的中點，A、B、M、E四點均在雙曲線上，
∴mn=k，B（-2m，-

n

2

），C（-2m，-n），E（-m，-n）．
S_矩形DCNO=2mn=2k，S_△DBO=

1

2

mn=

1

2

k，S_△OEN=

1

2

mn=

1

2

k，
∴S_{四邊形OBCE}=S_矩形DCNO-S_△DBO-S_△OEN=k=4．
∴k=4．
∵B（-2m，-

n

2

）在雙曲線y=

4

x

與直線y=

1

4

x上
∴

1 4 ×(-2m)=- n 2 (-2m)(- n 2 )=4

得

m1=2 n1=2

m2=-2 n2=-2

（舍去）
∴C（-4，-2），M（2，2）．
設直線CM的解析式是y=ax+b，把C（-4，-2）和M（2，2）代入得：

-4a+b=-2 2a+b=2.

解得a=b=

2

3

．
∴直線CM的解析式是y=

2

3

x+

2

3

．

點評：此題主要考查了待定系數法函數解析式以及一次函數與反比例函數交點的性質，根據四邊形OBCE的面積為4得出k的值是解決問題的關鍵．