Question

如圖，△ABC是圓O的內(nèi)接三角形，且AB≠AC，∠ABC和∠ACB的平分線，分別交圓O于點(diǎn)D，E，且BD=CE，則∠A等于（ ）

A．90°
B．60°
C．45°
D．30°

Answer 1

【答案】分析：連接AD、BE，求出弧BD=弧CE，推出∠BAD=∠EBC，推出∠CAB=∠ABD+∠ABE，求出∠CAB=∠ABD+∠ACE，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出∠ABC+∠ACB=2∠CAB，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出3∠CAB=180°，求出即可．
解答：解：連接AD、BE，
∵BD=CE
∴弧BD=弧CE，∴∠BAD=∠EBC，
∵∠BAD=∠CAD+∠CAB，∠EBC=∠ABE+∠ABD+∠CBD，
∴∠CAD+∠CAB=∠ABE+∠ABD+∠CBD，
∵∠CAD=∠CBD（同圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等），
∴∠CAB=∠ABD+∠ABE，
∵∠ABE=∠ACE（同圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等），
∴∠CAB=∠ABD+∠ACE（等量代換）
∵BD、CE分別平分∠ABC、∠ACB，
∴∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB
∴∠CAB=（∠ABC+∠ACB）
∴∠ABC+∠ACB=2∠CAB
∵∠CAB+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠CAB+2∠CAB=180°，
3∠CAB=180°
∴∠CAB=60°．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外接圓與外心，圓周角定理，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力，題目綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．