Question

如圖，拋物線y=a（x+2）²+k與x軸交于A，0兩點，將拋物線向上移動4個單位長度后得到一條新拋物線，它的頂點在x軸上，新拋物線上的D，E兩點分別是A，O兩點平移后的對應(yīng)點．設(shè)兩條拋物線、線段AD和線段OE圍成的面積為S．P（m，n）是新拋物線上一個動點，且滿足2m²+2m-n-w=0．
（1）求新拋物線的解析式．
（2）當(dāng)m=-2時，點F的坐標(biāo)為（-2w，w-4），試判斷直線DF與AE的位置關(guān)系，并說明理由．
（3）當(dāng)w的值最小時，求△AEP的面積與S的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

解：（1）由題意可知，原拋物線的頂點坐標(biāo)為（-2，-4），可設(shè)其拋物線解析式為：y=a（x+2）²-4，代入原點坐標(biāo)，得：
a（0+2）²-4=0，a=1
∴原拋物線解析式：y=（x+2）²-4=x²+4x；
那么，新拋物線解析式為 y=x²+4x+4．

（2）直線DF與AE的位置關(guān)系為 DF∥AE．理由如下：
當(dāng)m=-2時，P（-2，0）；
把點 P（-2，0）代入2m²+2m-n-w=0中，可得：8-4-0-w=0，w=4，所以點F（-8，0）；
易求得A（-4，0）、D（-4，4）、E（0，4）；
那么，∴△DAF≌△EOA；
∴∠DFA=∠EAO，則 DF∥AE．

（3）連接DE，則新拋物線與DE圍成的圖形的面積等于原拋物線與AO圍成的圖形的面積；
所以S=S_{四邊形AOED}=4×4=16．
因為點P（m，n）是新拋物線上的一點，所以 n=m²+4m+4，
又因為點P的坐標(biāo)滿足2m²+2m-n-w=0，所以 w=2m²+2m-n=2m²+2m-（m²+4m+4）=（m-1）²-5．
當(dāng)m=1時，w取最小值-5，此時n=9，即點P的坐標(biāo)為（1，9）．
過點P作PH⊥x軸于H，如右圖；
S_△AEP=S_△APH-S_△AOE-S_梯形EOHP
=×5×9-×4×4-（4+9）×1
=8；
所以S_△AEP=S．
分析：（1）拋物線向上平移4個單位后得到的拋物線頂點在x軸上，那么原拋物線頂點縱坐標(biāo)為-4，可先將原拋物線解析式設(shè)為頂點式，再代入原點坐標(biāo)，即可確定原拋物線解析式；最后根據(jù)“左加右減、上加下減”的平移規(guī)律求出新拋物線的解析式．
（2）由m的值（即點P橫坐標(biāo)），可求出n的值，再代入關(guān)于m、n、w的方程可求出w的值，由此能得到點P、F的坐標(biāo)，而點A、D、E的坐標(biāo)易知，根據(jù)這些點的特點即可判斷出DF、AE的位置關(guān)系．
（3）第一步，先求出S的值；由于新拋物線是原拋物線平移所得，若連接DE，那么將下面的曲線部分補償?shù)絰軸上方，S所表示的面積正好等于四邊形AOED的面積．
第二步，求出△AEP的知；點P在新拋物線的圖象上，可得出m、n的關(guān)系式，代入題干給出的方程，即可得到關(guān)于m、w的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可確定當(dāng)w最小時，m的值，即可確定點P的坐標(biāo)，通過觀察A、E、P三點坐標(biāo)，可過P作x軸的垂線，△AEP的面積可視為：大直角三角形的面積減去小直角三角形與直角梯形的面積和．
綜合上面兩步，可得到△AEP的面積與S的數(shù)量關(guān)系．
點評：題目主要考查了函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象的平移、全等三角形的判定和性質(zhì)以及圖形面積的解法．需要熟記的是函數(shù)圖象的平移規(guī)律“上加下減、左加右減”；（3）題中，通過圖形間的“割補”，得出S與正方形AOED面積的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵所在．