Question

如圖1，已知A（3，0）、B（4，4）、原點(diǎn)O（0，0）在拋物線y=ax²+bx+c （a≠0）上．

（1）求拋物線的解析式．

（2）將直線OB向下平移m個單位長度后，得到的直線與拋物線只有一個交點(diǎn)D，求m的值及點(diǎn)D的坐標(biāo)．

（3）如圖2，若點(diǎn)N在拋物線上，且∠NBO=∠ABO，則在（2）的條件下，求出所有滿足△POD∽△NOB的點(diǎn)P的坐標(biāo)（點(diǎn)P、O、D分別與點(diǎn)N、O、B對應(yīng)）

 

Answer 1

【答案】

（1）y=x²﹣3x （2）m=4  點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，﹣2） （3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）和（）

【解析】

試題分析：（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式進(jìn)而得出答案即可。

（2）首先求出直線OB的解析式為y=x，進(jìn)而將二次函數(shù)以一次函數(shù)聯(lián)立求出交點(diǎn)即可。

（3）首先求出直線A′B的解析式，進(jìn)而由△P₁OD∽△NOB，得出△P₁OD∽△N₁OB₁，進(jìn)而求出點(diǎn)P₁的坐標(biāo)，再利用翻折變換的性質(zhì)得出另一點(diǎn)的坐標(biāo)。　

解：（1）∵A（3，0）、B（4，4）、O（0，0）在拋物線y=ax²+bx+c （a≠0）上，

∴，解得：。

∴拋物線的解析式為：y=x²﹣3x。

（2）設(shè)直線OB的解析式為y=k₁x（ k₁≠0），

由點(diǎn)B（4，4）得4=4 k₁，解得k₁=1。

∴直線OB的解析式為y=x，∠AOB=45°。

∵B（4，4），∴點(diǎn)B向下平移m個單位長度的點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（4，0）。∴m=4。

∴平移m個單位長度的直線為y=x﹣4。

解方程組，解得：。

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，﹣2）。

（3）∵直線OB的解析式y(tǒng)=x，且A（3，0），

∴點(diǎn)A關(guān)于直線OB的對稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（0，3）。

設(shè)直線A′B的解析式為y=k₂x+3，此直線過點(diǎn)B（4，4）。

∴4k₂+3=4，解得 k₂=。

∴直線A′B的解析式為y=x+3。

∵∠NBO=∠ABO，∴點(diǎn)N在直線A′B上。

設(shè)點(diǎn)N（n， n+3），

又點(diǎn)N在拋物線y=x²﹣3x上，

∴n+3=n²﹣3n，解得  n₁=，n₂=4（不合題意，舍去）。

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（）。

如圖，將△NOB沿x軸翻折，得到△N₁OB₁，

則 N₁ （），B₁（4，﹣4）。

∴O、D、B₁都在直線y=﹣x上。

∵△P₁OD∽△NOB，∴△P₁OD∽△N₁OB₁�！郟₁為O N₁的中點(diǎn)。

∴�！帱c(diǎn)P₁的坐標(biāo)為（）。

將△P₁OD沿直線y=﹣x翻折，可得另一個滿足條件的點(diǎn)到x軸距離等于P₁到y(tǒng)軸距離，點(diǎn)到y(tǒng)軸距離等于P₁到x軸距離，

∴此點(diǎn)坐標(biāo)為：（）。

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）和（）。