【題目】已知四邊形ABCD中,E、F分別是AB、AD邊上的點(diǎn),DE與CF交于點(diǎn)G.

(1)如圖①,若四邊形ABCD是矩形,且DE⊥CF,求證:△ADE∽△DCF;
(2)如圖②,若四邊形ABCD是平行四邊形,試探究:當(dāng)∠B與∠EGC滿足什么關(guān)系時(shí), 成立?并證明你的結(jié)論;
(3)如圖③,若BA=BC=6,DA=DC=8,∠BAD=90°,DE⊥CF,請(qǐng)直接寫(xiě)出 的值.

【答案】
(1)

證明:∵四邊形ABCD是矩形,

∴∠A=∠ADC=90°,

∴∠ADE+∠CDG=90°,

又∵DE⊥CF,∠CDG+∠DCF=90°,

∴∠ADE=∠DCF,

∴△ADE∽△DCF.


(2)

解:當(dāng)∠B+∠EGC=180°時(shí), 成立,理由如下:

在AD的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)M,使CM=CF,如圖1所示:

則∠CMF=∠CFM.∵四邊形ABCD是平行四邊形,

∴AB∥CD,AD∥BC,

∴∠A=∠CDM,∠FCB=∠CFM,

∵∠B+∠EGC=180°,

∴∠BEG+∠FCB=360°﹣(∠B+∠EGC)=180°,

又∵∠BEG+∠AED=180°,

∴∠AED=∠FCB,

∴∠CMF=∠AED.

∴△ADE∽△DCM,

,

;


(3)

解: ;理由如下:

連接AC、BD,交于點(diǎn)M,作CN⊥AD于N,如圖2所示:

∵∠BAD=90°,AB=6,AD=8,

∴BD= = =10,

在△ABD和△CBD中, ,

∴△ABD≌△CBD(SAS),

∴∠ABD=∠CBD,

∵AB=CB,

∴BD⊥AC,AM=CM,

∴∠AMD=90°=∠BAD,

又∵∠ADB=∠MDA,

∴△ABD∽△MAD,

∴AD:DM=BD:AD,

∴AD2=BDDM,即82=10DM,

∴DM=6.4,

∴AM= = =4.8,

∴AC=2AM=9.6,

∵△ACD的面積= ADCN= ACDM,

∴8×CN=9.6×6.4,

解得:CN=7.68,

∵DE⊥CF,

∴∠CFN=∠DAE,

∵CN⊥AD,

∴∠CNF=90°=∠DAE,

∴△ADE∽△NCF,

= =


【解析】(1)由矩形的性質(zhì)得出∠A=∠ADC=90°,由角的互余關(guān)系整除∠ADE=∠DCF,即可得出△ADE∽△DCF;(2)在AD的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)M,使CM=CF,由等腰三角形的性質(zhì)得出∠CMF=∠CFM.由平行四邊形的性質(zhì)得出∠A=∠CDM,∠FCB=∠CFM,證出∠BEG+∠FCB=180°,得出∠AED=∠FCB,因此∠CMF=∠AED.證明△ADE∽△DCM,得出對(duì)應(yīng)邊成比例 ,即可得出結(jié)論;(3)連接AC、BD,交于點(diǎn)M,作CN⊥AD于N,由勾股定理求出BD,由SAS證明△ABD≌△CBD,得出∠ABD=∠CBD,由等腰三角形的性質(zhì)得出AM=CM,∠AMD=90°=∠BAD,證明△ABD∽△MAD,得出對(duì)應(yīng)邊成比例求出DM,由勾股定理求出AM,由△ACD的面積求出CN,證明△ADE∽△NCF,得出對(duì)應(yīng)邊成比例,即可得出結(jié)果.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的等腰三角形的性質(zhì),需要了解等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡(jiǎn)稱:等邊對(duì)等角)才能得出正確答案.

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將兩個(gè)全等的直角三角形按圖1所示擺放,其中∠DAB=90°,求證:a2+b2=c2.

證明:連結(jié)DB,過(guò)點(diǎn)DBC邊上的高DF,則DF=EC=b﹣a,

∵S四邊形ADCB=SACD+SABC= 12 b2+ 12 ab.

∵S四邊形ADCB=SADB+SDCB= 12 c2+ 12 a(b﹣a)

∴ 12 b2+ 12 ab= 12 c2+ 12 a(b﹣a)

∴a2+b2=c2

請(qǐng)參照上述證法,利用圖2完成下面的證明.

將兩個(gè)全等的直角三角形按圖2所示擺放,其中∠DAB=90°.求證:a2+b2=c2

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1)填空:a=  ,b=  ;

2)如果在第三象限內(nèi)有一點(diǎn)M﹣2,m),請(qǐng)用含m的式子表示ABM的面積;

3)在(2)條件下,當(dāng)m=時(shí),在y軸上有一點(diǎn)P,使得BMP的面積與ABM的面積相等,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

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1)寫(xiě)出圖中所有的等腰三角形,并選擇其中一個(gè)說(shuō)明理由。

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3)若DE=5cm,CE=8cm,BF=24cm,求△BDF的面積。

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②在圖中,將△A1O1B1繞點(diǎn)O1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的Rt△A2O1B2;(其中點(diǎn)A1 , B1的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A2 , B2
(2)直接寫(xiě)出點(diǎn)A2 , B2的坐標(biāo).

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