Question

在矩形ABCD中，已知AB=a，BC=b，P是邊CD上異于點(diǎn)C、D的任意一點(diǎn)．
（1）若a=2b，當(dāng)點(diǎn)P在什么位置時(shí)，△APB與△BCP相似？（不必證明）
（2）若a≠2b，①判斷以AB為直徑的圓與直線CD的位置關(guān)系，并說明理由；②是否存在點(diǎn)P，使以A、B、P為頂點(diǎn)的三角形與以A、D、P為頂點(diǎn)的三角形相似？（不必證明）

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)已知及相似三角形的判定方法可求得，P只能是CD的中點(diǎn)．
（2）a≠2b，則有a＞2b，a＜2b，分情況討論．根據(jù)圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關(guān)系可以判斷以AB為直徑的圓與直線CD的位置關(guān)系．要使△ABP與△ADP相似，因?yàn)樵凇鰽DP中，∠D=90°，則△ABP必定是直角三角形，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，得出答案．
解答：解：（1）因?yàn)镻在邊CD上，則在△BCP中，必有∠C=90°，因?yàn)閮扇�角形相似時(shí)，形狀一定相同，故△APB必定是直角三角形，又P點(diǎn)異于C，D，所以∠ABP≠90°，∠BAP≠90°，只能∠APB=90°，此時(shí)P只能是CD的中點(diǎn)．（2分）

（2）當(dāng)a＞2b時(shí)：
①以AB為直徑的圓與直線CD相交（3分）
理由是：∵a＞2b
∴b＜a
∴AB的中點(diǎn)（圓心）到CD的距離b小于半徑a
∴CD與圓相交．（4分）

②當(dāng)點(diǎn)P為CD與圓的交點(diǎn)時(shí)，△ABP∽△PAD，即存在點(diǎn)P（兩個(gè)），使以A、B、P為頂點(diǎn)的三角形與以A、D、P為頂點(diǎn)的三角形相似．（5分）
當(dāng)a＜2b時(shí)：
1AB為直徑的圓與直線CD相離．（6分）
理由是：∵a＜2b
∴b＞a
∴AB的中點(diǎn)（圓心）到CD的距離b大于半徑a
∴CD與圓相離（7分）
②由①可知，點(diǎn)P始終在圓外，△ABP始終為銳角三角形
∴不存在點(diǎn)P，使得以A、B、P為頂點(diǎn)的三角形與以A、D、P為頂點(diǎn)的三角形相似．（9分）
點(diǎn)評：本題屬于開放型試題，重點(diǎn)考查相似三角形的判定，有助于訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散思維能力．