【答案】
分析:(1)根據(jù)MC的函數(shù)式不難得出C點的坐標應該是(0,-3),即c=-3,那么要求拋物線的解析式還缺少一個點的坐標,可根據(jù)OC=3,以及∠BCO的余弦值在直角三角形BCO中運用勾股定理求出OB的長,也就得出了B的坐標,進而可求出拋物線的解析式.
(2)假設存在這樣的點P,那么要分兩種情況進行討論:
①當PN是另外一條直角邊時,可先求出直線MC的函數(shù)解析式,然后確定出N點的坐標,如果PN與y軸的交點為N,那么直角三角形CND應該是個等腰直角三角形(∠OCN=45°),因此可求出OD的長,也就得出了D的坐標,然后可確定出直線PN的解析式,然后聯(lián)立拋物線和PN所在直線的解析式即可求出此時交點P的坐標.
②當PC是另外一條直角邊時,連接AC可發(fā)現(xiàn),AC⊥CN(∠ACO=∠NCO=45°),而C點又正好在拋物線上,因此P與A重合,那么P點的坐標就是A點的坐標.
(3)①先求上移的單位,可先設出平移后的二次函數(shù)的解析式,然后聯(lián)立拋物線和直線NQ即MC的解析式,然后可得出一個一元二次方程,要想使兩函數(shù)有交點,那么△≥0,以此可求出平移單位的取值范圍,也就可求出最大的平移值.
②要求向下平移的最大單位,可求出當Q,N正好在拋物線上時,b的取值,那么根據(jù)MC的直線解析式,可得出Q,N點的坐標,那么當Q,N正好在拋物線上時,可用Q,N得出b的值,然后即可求出向下平移的最大單位.
解答:
解:(1)∵直線MC的函數(shù)表達式y(tǒng)=kx-3.
∴點C(0,-3)
∴cos∠BCO=
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=
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∴可設|OC|=3t(t>0),|BC|=
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t
則由勾股定理,得|OB|=t
而|OC|=3t=3,
∴t=1
∴|OB|=1,
∴點B(1,0)
∵點B(1,0)C(0,-3)在拋物線上
∴
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,
解得
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,
∴拋物線的函數(shù)表達式為y=(x+1)
2-4=x
2+2x-3.
(2)假設在拋物線上存在異于點C的點P,使以N,P,C為頂點的三角形是以NC為一條直角邊的直角三角形,
①若PN為另一條直角邊
∵點M(-1,-4)在直線MC上,
∴-4=-k-3,即k=1
∴直線MC的函數(shù)表達式為y=x-3
易得直線MC與x軸的交點N的坐標為N(3,0)
∵|OC|=|ON|
∴∠CNO=45°
∴在y軸上取點D(0,3),
連接ND交拋物線于點P
∵|ON|=|OD|
∴∠DNO=45°
設直線ND的函數(shù)表達式為y=mx+n
由
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得
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∴直線ND的函數(shù)表達式為y=-x+3
設點P(x,-x+3),代入拋物線的函數(shù)表達式,
得-x+3=x
2+2x-3,
即x
2+3x-6=0
解得x
1=
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,x
2=
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∴y
1=
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,y
2=
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∴滿足條件的點為P
1(
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,

),p
2(
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,

).
②若PC是另外一條直角邊
∵點A是拋物線與x軸的另一交點,
∴點A的坐標為(-3,0)
連接AC,∵|OA|=|OC|,
∴∠OCA=45°,又∠OCN=45°
∴∠ACN=90°,
∴點A就是所求的點p
3(-3,0)
綜上所述,在拋物線上存在滿足條件的點,有3個,
分別為:P
1(

,

),p
2(

,

),p
3(-3,0).
(3)若拋物線沿其對稱軸向上平移,
設向上平移b(b>0)個單位可設函數(shù)表達式為y=x
2+2x-3+b
由
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,
得x
2+x+b=0.
∴要使拋物線與線段NQ總有交點,
必須△=1-4b≥0,即b≤

,
∴0<b≤

∴若拋物線向上平移,最多可平移
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個單位長度.
②若拋物線沿其對稱軸向下平移,設向下平移b(b>0)個單位
可設函數(shù)表達式為y=x
2+2x-3-b
∵當x=-3時,y=-b,當x=3時,y=12-b
易求得Q(-3,-6),又N(3,0)
∴要使拋物線與線段NQ總有交點,必須
-b≥-6或12-b≥0,即b≤6或b≤12
∴0<b≤12
∴若拋物線沿其對稱軸向下平移,最多可平移12個單位長度
綜上可知,若拋物線沿其對稱軸向下平移,使拋物線與線段NQ總有公共點,
則向上最多可平移
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個單位長度,向下最多可平移12個單位長度.
點評:本題的關鍵是在于根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)平移后解析式的變化情況,
要注意的是(2)中要分另一條直角邊的不同進行分類討論,不要漏解.