Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣+2與x軸交于B、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)A，拋物線的頂點(diǎn)為D．連接AB，點(diǎn)E是第二象限內(nèi)的拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作EP⊥BC于點(diǎn)P，交線段AB于點(diǎn)F．

（1）連接EA、EB，取線段AC的中點(diǎn)Q，當(dāng)△EAB面積最大時(shí)，在x軸上找一點(diǎn)R使得|RE一RQ|值最大，請(qǐng)求出R點(diǎn)的坐標(biāo)及|RE﹣RQ|的最大值；

（2）如圖2，在（1）的條件下，將△PED繞E點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得△ED′P′，當(dāng)△AP′P是以AP為直角邊的直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P′的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）（2）當(dāng)△AP′P是以AP為直角邊的直角三角形時(shí)，點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（，）或（，）或（，）

【解析】

（1）先求直線AB解析式，設(shè)點(diǎn)E橫坐標(biāo)為e，則能用e表示E、F的坐標(biāo)進(jìn)而表示EF，求得△EAB面積是關(guān)于e的二次函數(shù)，易得e＝﹣時(shí)△EAB面積最大，進(jìn)而得E的坐標(biāo)．由三角形兩邊之差小于第三邊可知，當(dāng)E、Q、R成一直線時(shí)，|RE﹣RQ|＝EQ最大；由Q為AC中點(diǎn)求得Q坐標(biāo)，求直線EQ解析式即能求EQ與x軸的交點(diǎn)R坐標(biāo)及EQ的長(zhǎng)．

（2）設(shè)P'坐標(biāo)為（m、n），由于不確定以點(diǎn)A還是點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，故需分兩類情況討論．每種情況下都易得有關(guān)P'、P的三角形與△AOP相似，由對(duì)應(yīng)邊成比例列得關(guān)于m、n的二元方程；又由旋轉(zhuǎn)得EP'＝EP＝，根據(jù)勾股定理又列得關(guān)于m、n的二元方程，聯(lián)立兩二元方程組即求出m、n的值．

（1）∵y＝0時(shí)，﹣+2＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，

∴B（﹣3，0），C（1，0），

∵x＝0時(shí)，y＝2，，

∴A（0，2），

設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b，

∴解得：，

∴直線AB的解析式為：y＝x+2，

設(shè)點(diǎn)E（e，﹣e2﹣e+2），則點(diǎn)F（e，e+2），

∴EF＝﹣e2﹣e+2﹣（e+2）＝﹣e2﹣2e

∴S△EAB＝OBEF＝×3（﹣e2﹣2e）＝﹣e2﹣3e＝﹣（e+）2+，

∵﹣3＜e＜0

∴當(dāng)e＝﹣時(shí)，△EAB的面積最大，

∴﹣e2﹣e+2＝，

∴此時(shí)點(diǎn)E坐標(biāo)為（-，）

如圖1，

連接并延長(zhǎng)EQ，交x軸于點(diǎn)R，則此時(shí)|RE﹣RQ|＝EQ值最大

∵Q是AC中點(diǎn)，

∴Q（，1）

設(shè)直線EQ解析式為：y＝ax+c，

∴，解得：，

∴直線EQ解析式為：y＝x+，

當(dāng)y＝0時(shí)， x+＝0，解得：x＝，

∴R（，0），

此時(shí)|RE﹣RQ|的最大值EQ＝，

（2）設(shè)點(diǎn)P'坐標(biāo)為（m，n）

∵EP⊥x軸，E（-，）

∴P（-，0），EP＝，AP＝，

i）當(dāng)∠P'PA＝90°時(shí)，如圖2，

過點(diǎn)P'作P'M⊥x軸于點(diǎn)M，

∴∠P'MP＝∠POA＝90°，∠PP'M+∠P'PM＝∠P'PM+∠APO＝90°，

∴∠PP'M＝∠APO，

∴△PP'M∽△APO，

∴，即：，

整理得：4n+3m＝①，

∵EP'＝EP

∴（m+）2+（n﹣）2＝（）2②，

聯(lián)立①②解方程組得：（舍去），

∴P'（，）；

ii）當(dāng)∠PAP'＝90°時(shí)，如圖3，過點(diǎn)P'作P'N⊥y軸于點(diǎn)N；

由△P'AN∽△APO得，即：，

整理得：3m+4n＝8①，

∵EP'＝EP，

∴（m+）2+（n﹣）2＝（）2②，

聯(lián)立①②解方程組得：，，

∴P'（，）或（，），

綜上所述，當(dāng)△AP′P是以AP為直角邊的直角三角形時(shí)，點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（ ，）或（，）或（，）