Question

已知：如圖，⊙O是△ABC的外接圓，且AB=AC=13，BC=24，PA是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，割線PBD過圓心，交⊙O于另一點(diǎn)D，連接CD．
（1）求證：PA∥BC；
（2）求⊙O的半徑及CD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）如圖；由AB=AC，可以得到∠1=∠2，然后利用弦切角定理就可以證得PA與BC的內(nèi)錯(cuò)角相等，由此得證；
（2）本題需構(gòu)建直角三角形求解，連接OA，交BC于G，由垂徑定理知：OA垂直平分BC，
在Rt△ABG中，已知了AB、BG的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理可求出AG的長(zhǎng)，
在Rt△OBG中，用圓的半徑表示出OG的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理，求出圓的半徑長(zhǎng)，進(jìn)而可求出OG的長(zhǎng)，
△BCD中，易證得OG是△BCD的中位線，由此可求出CD的長(zhǎng)．
解答：（1）證明：∵PA是⊙O的切線，
∴∠PAB=∠2．
又∵AB=AC，
∴∠1=∠2，
∴∠PAB=∠1．
∴PA∥BC．

（2）解：連接OA交BC于點(diǎn)G，則OA⊥PA；
由（1）可知，PA∥BC，
∴OA⊥BC．
∴G為BC的中點(diǎn)，
∵BC=24，
∴BG=12．
又∵AB=13，
∴AG=5．
設(shè)⊙O的半徑為R，則OG=OA-AG=R-5，
在Rt△BOG中，
∵OB²=BG²+OG²，
∴R²=12²+（R-5）²，
∴R=16.9，OG=11.9；
∵BD是⊙O的直徑，
∴DC⊥BC．
又∵OG⊥BC，
∴OG∥DC．
∵點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)，
∴DC=2OG=23.8．
點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定、勾股定理、垂徑定理、中位線定理等知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，難度較大．