Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，過(guò)對(duì)角線BD上任意一點(diǎn)P，作EF∥BC，GH∥AB，下列結(jié)論：①圖中共有3個(gè)菱形；②△BEP≌△BGP；③四邊形AEPH的面積等于△ABD的面積的一半；④四邊形AEPH的周長(zhǎng)等于四邊形GPFC的周長(zhǎng)．其中正確的是________．(填序號(hào))

Answer 1

【答案】①②④

【解析】∵圖中有三個(gè)菱形，如菱形ABCD、菱形HOFD、菱形BEPG，∴①正確；
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB∥DC，AD∥BC，∠ABD=∠CBD，
∵EF∥BC，GH∥AB，
∴四邊形BEPG是平行四邊形，
∴PE=BG，PG=BE，
在△BEP和△PGB中，

∴△BEP≌△PGB（SSS），

∴②正確；

∵只有當(dāng)H為AD中點(diǎn)，E為AB中點(diǎn)時(shí)，四邊形AEPH的面積等于△ABD的面積的一半，∴③錯(cuò)誤；

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB∥CD，AD∥BC，

∵EF∥BC，GH∥AB，

∴AD∥EF∥BC，AB∥GH∥CD，

∴四邊形AEPH、四邊形HPFD、四邊形BEPG、四邊形PFCG是平行四邊形，

∴AH=BG=PE，AE=HP=DF，BE=PG=CF，DH=PF=VG，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴∠EBP=∠GBP，

∵PE∥BG，

∴∠EPB=∠GBP，

∴∠EBP=∠EPB，

∴BE=PE，

∴AH=PE=BG=BE=CF=PG，

同理AE=HP=DF=PF=CG，

∴四邊形AEPH的周長(zhǎng)=四邊形GPFC的周長(zhǎng)，∴④正確；

故答案為：①②④．