Question

【題目】施工隊(duì)要修建一個(gè)橫斷面為拋物線的公路隧道，其高度為6米，寬度OM為12米，現(xiàn)在O點(diǎn)為原點(diǎn)，OM所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系（如圖所示）．

（1）直接寫出點(diǎn)M及拋物線頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）求出這條拋物線的函數(shù)解析式；

（3）施工隊(duì)計(jì)劃在隧道門口搭建一個(gè)矩形“腳手架”ABCD，使A、D點(diǎn)在拋物線上，B、C點(diǎn)在地面OM上．為了籌備材料，需求出“腳手架”三根木桿AB、AD、DC的長度之和的最大值是多少？請(qǐng)你幫施工隊(duì)計(jì)算一下．

Answer 1

【答案】（1）M（12，0），P（6，6）；（2）y=x2+2x；（3）15米．

【解析】試題分析：確定了拋物線的頂點(diǎn)式，可以設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式，又過原點(diǎn)（0，0），就可以確定拋物線解析式；設(shè)OB=x，由對(duì)稱性得CM=x，這樣就可以用含x的式子表示AB、AD、CD了，為求三根木桿AB、AD、DC的長度之和的最大值，提供依據(jù)．

試題解析：（1）M（12，0），P（6，6）

（2）∵頂點(diǎn)坐標(biāo)（6，6）

∴設(shè)y=a（x﹣6）2+6（a≠0）

又∵圖象經(jīng)過（0，0）

∴0=a（0﹣6）2+6

∴a=

∴這條拋物線的函數(shù)解析式為y=（x﹣6）2+6，即y=x2+2x；

（3）設(shè)A（x，y）

∴A（x， （x﹣6）2+6）

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB=DC=（x﹣6）2+6，

根據(jù)拋物線的軸對(duì)稱性，可得：OB=CM=x，

∴BC=12﹣2x，即AD=12﹣2x，

∴令L=AB+AD+DC=2[（x﹣6）2+6]+12﹣2x=x2+2x+12=（x﹣3）2+15．

∴當(dāng)x=3，L最大值為15

∴AB、AD、DC的長度之和最大值為15米．