Question

【題目】如圖所示，已知直線MN//PQ，直線AC交MN、PQ于點(diǎn)A、C，所得的同旁內(nèi)角的平分線AB、BC和AD、CD分別相交于點(diǎn)B、D．試猜想AC與BD的關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】AC與BD相等且互相平分，理由見解析．

【解析】

已知MN//PQ，可得∠MAC＋∠ACP＝180°，已知AB、CB分別平分∠MAC、∠ACP，即∠BAC＝∠MAC，∠BCA＝∠ACP，得到∠BAC＋∠BCA＝90°，∠ABC＝90°，同理可得∠ADC＝90°，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得到∠ACB＋∠ACD＝90°，即∠BCD＝90°，證得四邊形ABCD是矩形，得到AC與BD相等且互相平分．

AC與BD相等且互相平分，理由如下：

∵MN//PQ，

∴ ∠MAC＋∠ACP＝180°

又∵AB、CB分別平分∠MAC、∠ACP

∴∠BAC＝∠MAC，∠BCA＝∠ACP

∴∠BAC＋∠BCA＝90°

∴∠ABC＝90°

同理可得∠ADC＝90°

又∠ACP＋∠ACQ＝180°，CB、CD分別平分∠ACP、∠ACQ

∴∠ACB＋∠ACD＝90°

即∠BCD＝90°

∴四邊形ABCD是矩形

∴AC與BD相等且互相平分