Question

【題目】已知：△ABC中AB=AC，M為底邊BC上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M分別作AB、AC的平行線交AC于P，交AB于Q.

探究:（1）線段QM、PM、AB之間有什么關(guān)系？并說明你的理由.

（2）當(dāng)M位于BC的什么位置時(shí), 四邊形AQMP是菱形？并說明你的理由.

（3）當(dāng)△ABC滿足什么條件菱形AQMP是正方形？

Answer 1

【答案】（1）AB=QM+PM，證明見解析；（2）當(dāng)M為底邊BC的中點(diǎn)時(shí),四邊形AQMP為菱形，證明見解析；（3）當(dāng)∠A＝90°時(shí), 菱形AQMP為正方形.

【解析】（1）根據(jù)平行四邊形的判定得出平行四邊形AQMP，求出BQ＝MQ即可；

（2）求出AQ＝QM，根據(jù)菱形的判定推出即可；

（3）根據(jù)有一個(gè)角是直角的菱形是正方形求解即可.

（1）AB=QM+PM

證明：∵PM‖AB,QM‖AC

∴四邊形AQMP為平行四邊形

∴PM＝AQ

∵QM‖AC

∴∠C=∠QMB

∵AB=AC

∴∠C=∠B

∴∠B=∠QMB

∴BQ=MQ

∵AB=AQ+BQ

∴AB=QM+PM

（2）當(dāng)M為底邊BC的中點(diǎn)時(shí),四邊形AQMP為菱形

證明：連接AM

∵M為底邊BC的中點(diǎn)，AB=AC

∴∠BAM＝∠MAC

∵PM‖AB

∴∠BAM＝∠AMP

∴∠MAC＝∠AMP

∴PA＝PM

∴平行四邊形AQMP為菱形

(3)當(dāng)∠A＝90°時(shí), 菱形AQMP為正方形

由（2）知，四邊形AQMP為菱形，

∵∠A＝90°，

∴菱形AQMP為正方形.