Question

如圖，已知矩形ABCD中，A （3，2），B （3，-4），C （5，-4），點(diǎn)E是直線AB與x軸的交點(diǎn)，拋物線y=ax²+b x-3過點(diǎn)E，且頂點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)M是直線CD與x軸的交點(diǎn)．
（1）求a，b的值；
（2）請(qǐng)你探索在矩形ABCD的四條邊上，是否存在點(diǎn)P，使得三角形AFP是等腰三角形？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）拋物線上是否存在點(diǎn)Q在∠EMC的平分線上？如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）A （3，2），B （3，-4），點(diǎn)E是直線AB與x軸的交點(diǎn)，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）．
∵拋物線y=ax²+bx-3過點(diǎn)E，且頂點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為1，
∴，解得，
所以a=1，b=-2；

（2）在矩形ABCD的四條邊上，存在點(diǎn)P，使得三角形AFP是等腰三角形．理由如下：
①當(dāng)PA=PF時(shí)，點(diǎn)P在線段AF的垂直平分線上．
（i）設(shè)P₁是線段AF的垂直平分線與AB的交點(diǎn)，設(shè)BP₁=x，
∵P₁A²=P₁F²，
∴（6-x）²=x²+2²，解得x=，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，-）；
（ii）設(shè)P₂是線段AF的垂直平分線與CD的交點(diǎn)，設(shè)CP₂=y，
∵P₂A²=P₂F²，
∴（6-y）²+2²=y²+4²，解得y=2，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，-2）；
②當(dāng)AF=AP時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，-4）；
③當(dāng)FA=FP時(shí)，設(shè)CP=m，
∵FA²=FP²，
∴6²+2²=m²+4²，解得m=2，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，2-4）；
綜上可知，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，-）或（5，-2）或（5，-4）或（5，2-4）；

（3）拋物線上存在點(diǎn)Q在∠EMC的平分線上，理由如下：
由（1）得y=x²-2x-3，設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，x²-2x-3），則x＜5．
點(diǎn)Q在∠EMC的平分線上即點(diǎn)Q到x軸和到直線CD的距離相等，
所以-（x²-2x-3）=5-x，
整理得，x²-3x+2=0，
解得x=1或2，
所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，-4）或（2，-3）．
分析：（1）先求出E點(diǎn)坐標(biāo)，再由拋物線y=ax²+bx-3過點(diǎn)E，且頂點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為1，列出關(guān)于a，b的方程組，解方程組即可求出a，b的值；
（2）當(dāng)三角形AFP是等腰三角形時(shí)，分三種情況進(jìn)行討論：
①PA=PF，又分兩種情況，（i）P在AB邊上；（ii）P在CD邊上．根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式列出方程，解方程即可；
②AF=AP，則點(diǎn)P與點(diǎn)C重合；
③FA=FP，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式列出方程，解方程即可；
（3）設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，x²-2x-3），則x＜5，由點(diǎn)Q在∠EMC的平分線上即點(diǎn)Q到x軸和到直線CD的距離相等，列出方程-（x²-2x-3）=5-x，解方程求出x的值，即可得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有運(yùn)用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，等腰三角形的性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離公式，角平分線的判定，綜合性較強(qiáng)，難度適中．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想是解題的關(guān)鍵．