Question

【題目】如圖，將邊長(zhǎng)為6的正三角形紙片ABC按如下順序進(jìn)行兩次折疊，展開后，得折痕AD、BE．(如圖①)，點(diǎn)O為其交點(diǎn)．如圖②，若P、N分別為BE、BC上的動(dòng)點(diǎn)．如圖③，若點(diǎn)Q在線段BO上，BQ=1，則QN+NP+PD的最小值=_______．

Answer 1

【答案】

【解析】

如圖，作點(diǎn)Q關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)Q1，點(diǎn)D關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn)D1，連接D1Q1，交BE于P，BC于N，連接BQ1，QN、PD，由等邊三角形的性質(zhì)和軸對(duì)稱的性質(zhì)可得∠CBE=∠Q1BN=∠ABE=30°，BQ=BQ1，BD=BD1，PD=PD1，NQ=NQ1，即可得Q1D1是QN+NP+PD的最小值，可得△BQ1Q和△BD1D是等邊三角形，根據(jù)∠CBE=∠Q1BN=∠ABE=30°，可得∠ABQ1=90°，由AD是折痕可得BD=BC，利用勾股定理求出Q1D1的長(zhǎng)即可得答案．

如圖，作點(diǎn)Q關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)Q1，點(diǎn)D關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn)D1，連接D1Q1，交BE于P，BC于N，連接BQ1，QN、PD，

∵△ABC是等邊三角形，AD、BE是折痕，

∴∠CBE=∠Q1BN=∠ABE=30°，點(diǎn)D1在AB上，BD=BC=3，∠ABC=60°，

∴∠ABQ1=90°，∠Q1BQ=60°，

∵點(diǎn)Q關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)D1，點(diǎn)D關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn)D1，

∴BQ=BQ1，BD=BD1，PD=PD1，NQ=NQ1，

∴△BQ1Q和△BD1D是等邊三角形，Q1D1是QN+NP+PD的最小值，

∴BQ1=BQ=1，BD1=BD=3，

∴Q1D1==．

故答案為：