(2005•鹽城)已知:在矩形ABCD中,AB=2,E為BC邊上的一點(diǎn),沿直線DE將矩形折疊,使C點(diǎn)落在AB邊上的C點(diǎn)處.過(guò)C′作C′H⊥DC,C′H分別交DE、DC于點(diǎn)G、H,連接CG、CC′,CC′交GE于點(diǎn)F.
(1)求證:四邊形CGC′E為菱形;
(2)設(shè)sin∠CDE=x,并設(shè)y=,試將y表示成x的函數(shù);
(3)當(dāng)(2)中所求得的函數(shù)的圖象達(dá)到最高點(diǎn)時(shí),求BC的長(zhǎng).
【答案】分析:(1)易得CC'被DE垂直平分,可得所求的四邊形有2組鄰邊相等,以及一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等,利用圖中的兩個(gè)垂直得到C'H∥BC,可得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等,利用等邊對(duì)等角,得到C′G=C′E,那么可得4條邊相等,那么是菱形.
(2)給出了y的基本形式,那么可設(shè)分母中的單獨(dú)的一個(gè)字母為未知量,其他線段用這條線段以及相應(yīng)的x表示.
(3)函數(shù)圖象達(dá)到最高點(diǎn),那么應(yīng)是當(dāng)x=-時(shí)y相應(yīng)的值.充分利用(2)在中的DG:DE的值,求得DE值,利用勾股定理可求得C'H的長(zhǎng),那么BC=C'H.
解答:(1)證明:根據(jù)題意,C、C′兩點(diǎn)關(guān)于直線DE成軸對(duì)稱,DE是線段CC′的垂直平分線,
故EC=EC′,GC=GC′,∠C′EG=∠CEG(2分)
由C′H⊥DC,BC⊥DC得:C′G∥CE,
∴∠C′GE=∠GEC,
∵∠C′EG=∠CEG,
∴∠C′GE=∠C′EG,
∴C′G=C′E,
∴C′G=C′E=EC=GC,
∴四邊形CGCE為菱形.(4分)

(2)解:設(shè)DE=a,由sin∠CDE==x,
則CE=ax,又DC⊥CE,CF⊥DE,
∴△DCE∽△CFE,

(6分)
DG=DE-2EF=a-2ax2,
.(7分)
∴y=-2x2+x+1.(8分)

(3)解:由(2)得:y=-2x2+x+1=,(9分)
可見,當(dāng)x=時(shí),此函數(shù)的圖象達(dá)到最高點(diǎn),此時(shí)
∵GH∥CE,
,
由DC=2,得DH=.(10分)
在Rt△DHC′中.(11分)
∴BC=.(12分)
點(diǎn)評(píng):本題綜合考查了菱形的判定,三角形的相似,勾股定理等知識(shí).使用的判定為:四條邊相等的四邊形是菱形.
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(2)一個(gè)圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)、半徑為1的圓,以0.4個(gè)單位/每秒的速度向x軸正方向運(yùn)動(dòng),問(wèn)什么時(shí)刻該圓與直線l相切;
(3)在題(2)中,若在圓開始運(yùn)動(dòng)的同時(shí),一動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā),沿BA方向以0.5個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng),問(wèn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,點(diǎn)P在動(dòng)圓的園面(圓上和圓的內(nèi)部)上一共運(yùn)動(dòng)了多長(zhǎng)時(shí)間?

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