Question

【題目】如圖，已知：AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，CD是⊙O的切線，AD⊥CD于點(diǎn)D，E是AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，CE交⊙O于點(diǎn)F，連接OC，AC，若∠DAO=105°，∠E=30°．

（Ⅰ）求∠OCE的度數(shù)；

（Ⅱ）若⊙O的半徑為2，求線段EF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）45°；（Ⅱ）2﹣2．

【解析】分析：

（1）由CD是⊙O的切線可得OC⊥CD，結(jié)合AD⊥CD于點(diǎn)D可得OC∥AD，從而可得∠COE=∠DAE=105°，結(jié)合∠E=30°即可得到∠OCE=45°；

（2）如下圖，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥CF于點(diǎn)M，則CM=MF結(jié)合∠OCE=45°，OC=即可得到OM=CM=2=MF，結(jié)合∠E=30°可得OE=2OM=4，則由勾股定理可得ME=，從而可得EF=ME-MF=.

詳解：

（Ⅰ）∵CD是⊙O的切線，

∴OC⊥CD，又AD⊥CD，

∴AD∥OC，

∴∠COE=∠DAO=105°，

又∵∠E=30°，

∴∠OCE=180°﹣∠COE﹣∠E=45°；

（Ⅱ）如下圖，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥CE于M，

∴ CM=MF，∠OMC=∠OME=90°，

∵∠OCE=45°，

∴OM=CM=2=MF，

∵∠E=30°，

∴在Rt△OME中，OE=2OM=4，

∴ME=，

∴EF=ME-MF=.