Question

（2010•寧波）如圖1在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，?ABCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)B在x軸的正半軸上，點(diǎn)E為線段AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)E的直線l與x軸交于點(diǎn)F，與射線DC交于點(diǎn)G．
（1）求∠DCB的度數(shù)；
（2）連接OE，以O(shè)E所在直線為對(duì)稱軸，△OEF經(jīng)軸對(duì)稱變換后得到△OEF'，記直線EF'與射線DC的交點(diǎn)為H．
①如圖2，當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)H的左側(cè)時(shí)，求證：△DEG∽△DHE；
②若△EHG的面積為3，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于平行四邊形的對(duì)角相等，只需求得∠DAO的度數(shù)即可，在Rt△OAD中，根據(jù)A、D的坐標(biāo)，可得到OA、OD的長(zhǎng)，那么∠DAO的度數(shù)就不難求得了．
（2）①根據(jù)A、D的坐標(biāo)，易求得E點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到AE、OE的長(zhǎng)，由此可判定△AOE是等邊三角形，那么∠OEA=∠AOE=∠EOF′=60°，由此可推出OF′∥AE，即∠DEH=∠OF′E，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)知∠OF′E=∠EFA，通過等量代換可得∠EFA=∠DGE=∠DEH，由此可證得所求的三角形相似．
②過E作CD的垂線，設(shè)垂足為M，則EM為△EGH中GH邊上的高，根據(jù)△EGH的面積即可求得GH的長(zhǎng)，在①題已經(jīng)證得△DEG∽△DHE，可得DE²=DG•DH，可設(shè)出DG的長(zhǎng)，然后表示出DH的值，代入上面的等量關(guān)系式中，即可求得DG的長(zhǎng)，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)知：DG=AF，由此得到AF的長(zhǎng)，進(jìn)而可求得F點(diǎn)的坐標(biāo)，需注意的是，在表示DH的長(zhǎng)時(shí)，要分兩種情況考慮：一、點(diǎn)H在G的右側(cè)，二、點(diǎn)H在G的左側(cè)．
解答：解：（1）在直角△OAD中，∵tan∠OAD=OD：OA=，
∴∠A=60°，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠C=∠A=60°；

（2）①證明：∵A（-2，0），D（0，2），且E是AD的中點(diǎn)，
∴E（-1，），AE=DE=2，OE=OA=2，
∴△OAE是等邊三角形，則∠AOE=∠AEO=60°；
根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)知：∠AOE=∠EOF′，故∠EOF′=∠AEO=60°，即OF′∥AE，
∴∠OF′E=∠DEH；
∵∠OF′E=∠OFE=∠DGE，
∴∠DGE=∠DEH，
又∵∠GDE=∠EDH，
∴△DGE∽△DEH．

②過點(diǎn)E作EM⊥直線CD于點(diǎn)M，
∵CD∥AB，
∴∠EDM=∠DAB=60°，
∴EM=DE•sin60°=2×=，
∵S_△EGH=•GH•ME=•GH•=3，
∴GH=6；
∵△DHE∽△DEG，
∴=即DE²=DG•DH，
當(dāng)點(diǎn)H在點(diǎn)G的右側(cè)時(shí)，設(shè)DG=x，DH=x+6，
∴4=x（x+6），
解得：x₁=-3+，x₂=-3-（舍），
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1-，0）；
當(dāng)點(diǎn)H在點(diǎn)G的左側(cè)時(shí)，設(shè)DG=x，DH=x-6，
∴4=x（x-6），
解得：x₁=3+，x₂=3-（舍），
∵△DEG≌△AEF，
∴AF=DG=3+，
∵OF=AO+AF=3++2=+5，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（--5，0），
綜上可知，點(diǎn)F的坐標(biāo)有兩個(gè)，分別是F₁（1-，0），F(xiàn)₂（--5，0）．
點(diǎn)評(píng)：此題涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，主要有：平行四邊形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、全等三角形以及相似三角形的判定和性質(zhì)，綜合性強(qiáng)，難度較大．