Question

【題目】已知，如圖點P是△ABC的邊BC上的一動點，點E與點P關于直線AB成軸對稱，連接EP交AB于點F，連接AP、EC相交于點O，連接AE.

（1）判斷AE與AP的數量關系，并說明理由.

（2）在點P的運動過程中，當AE∥BC時，判斷AP與BP的數量關系，并說明理由.

（3）若∠BAC=900，點P在運動過程中是否存在線段AP與線段EC互相平分的情況，若存在，請求出點P的位置；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)相等，理由見解析；（2）相等，理由見解析；（3）存在，點P為BC的中點時，理由見解析

【解析】

(1)根據SAS證明△AEF≌△APF，再由全等三角形的面積得到AE＝AP；

(2)由AE//BC可得∠EAB=∠B,由(1)可得∠EAB=∠BAP，所以∠B＝∠BAP，再根據等角對等邊得BP＝AP；

(3)當點P為BC的中點時，由直角三角形的斜邊中點可得BP＝CP＝AP，從而得到∠B＝∠BAP，又由（1）可得AE＝AP＝PB＝PC和∠EAB=∠BAP，則∠B＝∠EAB，再得到AE//BC，再根據一組對邊平行且相等可得四邊形AEPC為平行四邊形，由平行四邊形的性質可得AP和EC互相平分.

(1)∵點E與點P關于直線AB成軸對稱，

∴AB⊥EP且平分,

∴∠AFE=∠AFP,EF=PF,

在△AEF和△APF中，

，

∴△AEF≌△APF，

∴AE＝AP;

(2)如圖所示：

∵AE//BC，

∴∠EAB=∠B,

∵△AEF≌△APF，

∴∠EAB=∠BAP，

∴∠B＝∠BAP，

∴BP＝AP;

(3)存在，當點P為BC的中點時，

∵P是BC的中點，∠BAC＝90o,

∴BP=PC=AP,

∴∠B=∠BAP,

由（1）中△AEF≌△APF，

∴∠EAB＝∠BAP，AE＝AP，

∴∠B＝∠EAB，AE＝AP＝BP＝PC，

∴AE//PC,AE=PC,

∴四邊形AEPC是平行四邊形，

∴AP和CE互相平分.