【題目】已知,如圖點P是△ABC的邊BC上的一動點,點E與點P關于直線AB成軸對稱,連接EP交AB于點F,連接AP、EC相交于點O,連接AE.
(1)判斷AE與AP的數量關系,并說明理由.
(2)在點P的運動過程中,當AE∥BC時,判斷AP與BP的數量關系,并說明理由.
(3)若∠BAC=900,點P在運動過程中是否存在線段AP與線段EC互相平分的情況,若存在,請求出點P的位置;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)相等,理由見解析;(2)相等,理由見解析;(3)存在,點P為BC的中點時,理由見解析
【解析】
(1)根據SAS證明△AEF≌△APF,再由全等三角形的面積得到AE=AP;
(2)由AE//BC可得∠EAB=∠B,由(1)可得∠EAB=∠BAP,所以∠B=∠BAP,再根據等角對等邊得BP=AP;
(3)當點P為BC的中點時,由直角三角形的斜邊中點可得BP=CP=AP,從而得到∠B=∠BAP,又由(1)可得AE=AP=PB=PC和∠EAB=∠BAP,則∠B=∠EAB,再得到AE//BC,再根據一組對邊平行且相等可得四邊形AEPC為平行四邊形,由平行四邊形的性質可得AP和EC互相平分.
(1)∵點E與點P關于直線AB成軸對稱,
∴AB⊥EP且平分,
∴∠AFE=∠AFP,EF=PF,
在△AEF和△APF中,
,
∴△AEF≌△APF,
∴AE=AP;
(2)如圖所示:
∵AE//BC,
∴∠EAB=∠B,
∵△AEF≌△APF,
∴∠EAB=∠BAP,
∴∠B=∠BAP,
∴BP=AP;
(3)存在,當點P為BC的中點時,
∵P是BC的中點,∠BAC=90o,
∴BP=PC=AP,
∴∠B=∠BAP,
由(1)中△AEF≌△APF,
∴∠EAB=∠BAP,AE=AP,
∴∠B=∠EAB,AE=AP=BP=PC,
∴AE//PC,AE=PC,
∴四邊形AEPC是平行四邊形,
∴AP和CE互相平分.
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【題目】如圖,直線分別交x軸、y軸于A、B兩點,直線BC與x軸交于點,P是線段AB上的一個動點點P與A、B不重合.
(1)求直線BC所對應的的函數表達式;
(2)設動點P的橫坐標為t,的面積為S.
①求出S與t的函數關系式,并寫出自變量t的取值范圍;
②在線段BC上存在點Q,使得四邊形COPQ是平行四邊形,求此時點Q的坐標.
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【題目】如圖1,四邊形ABCD是正方形,點G是BC邊上任意一點.DE⊥AG于點E,BF∥DE且交AG于點F.
(1)求證:AE=BF;
(2)如圖2,如果點G是BC延長線上一點,其余條件不變,則線段AF、BF、EF有什么數量關系?請證明出你的結論.
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=8,AD=10,點E是CD的中點,將這張紙片依次折疊兩次:第一次折疊紙片使點A與點E重合,如圖②,折痕為MN,連接ME,NE;第二次折疊紙片使點N與點E重合,如圖③,點B落到B′處,折痕為HG,連接HE,則下列結論:①ME∥HG;②△MEH是等邊三角形;③∠EHG=∠AMN;④tan∠EHG=.其中正確的個數是( )
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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【題目】如圖,某校教學樓AB后方有一斜坡,已知斜坡CD的長為12米,坡角α為60°,根據有關部門的規(guī)定,∠α≤39°時,才能避免滑坡危險,學校為了消除安全隱患,決定對斜坡CD進行改造,在保持坡腳C不動的情況下,學校至少要把坡頂D向后水平移動多少米才能保證教學樓的安全?(結果取整數)
(參考數據:sin39°≈0.63,cos39°≈0.78,tan39°≈0.81,≈1.41,≈1.73,≈2.24)
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【題目】為召開球類運動會,學校決定購買一批籃球和足球,若購買3個籃球和2個足球共需420元;購買2個籃球和4個足球共需440元.
(1)求籃球和足球的單價;
(2)根據實際需要,學校決定購買籃球和足球共100個,其中購買籃球的數量不少于足球數量的,學?捎糜谫徺I這批籃球和足球的資金最多為8000元.請問有幾種購買方案?
(3)若購買籃球個,學校購買這批籃球和足球的總費用為元,在(2)的條件下,求哪種方案能使最小,并求出的最小值.
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【題目】在正方形ABCD中,AB=8,點P在邊CD上,tan∠PBC=,點Q是在射線BP上的一個動點,過點Q作AB的平行線交射線AD于點M,點R在射線AD上,使RQ始終與直線BP垂直.
(1)如圖1,當點R與點D重合時,求PQ的長;
(2)如圖2,試探索: 的比值是否隨點Q的運動而發(fā)生變化?若有變化,請說明你的理由;若沒有變化,請求出它的比值;
(3)如圖3,若點Q在線段BP上,設PQ=x,RM=y,求y關于x的函數關系式,并寫出它的定義域.
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【題目】對于⊙C與⊙C上的一點A,若平面內的點P滿足:射線AP與⊙C交于點Q(點Q可以與點P重合),且,則點P稱為點A關于⊙C的“生長點”.
已知點O為坐標原點,⊙O的半徑為1,點A(-1,0).
(1)若點P是點A關于⊙O的“生長點”,且點P在x軸上,請寫出一個符合條件的點P的坐標________;
(2)若點B是點A關于⊙O的“生長點”,且滿足,求點B的縱坐標t的取值范圍;
(3)直線與x軸交于點M,與y軸交于點N,若線段MN上存在點A關于⊙O的“生長點”,直接寫出b的取值范圍是_____________________________.
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【題目】以C為直角頂點的兩個等腰直角△CAB和△CDG,E為AB的中點,F為DG的中點.
(1)如圖1,點A、B分別在邊CD,CG上,則EF與AD的數量關系是______________;
(2)如圖2,點A、B不在邊CD、CG上,(1)中EF與AD的關系還成立嗎?請證明你的結論;
(3)如圖3,若A、B、G在同一直線上,且A、C、B、F在同一圓上,直接寫出△CDG與△CAB面積之比.
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