Question

【題目】以C為直角頂點(diǎn)的兩個(gè)等腰直角△CAB和△CDG，E為AB的中點(diǎn)，F為DG的中點(diǎn)．

（1）如圖1，點(diǎn)A、B分別在邊CD，CG上，則EF與AD的數(shù)量關(guān)系是______________；

（2）如圖2，點(diǎn)A、B不在邊CD、CG上，（1）中EF與AD的關(guān)系還成立嗎?請(qǐng)證明你的結(jié)論；

（3）如圖3，若A、B、G在同一直線上，且A、C、B、F在同一圓上，直接寫出△CDG與△CAB面積之比．

Answer 1

【答案】（1）AD=EF；（2）成立，證明見解析；（3）．

【解析】試題分析：（1）連接CE、CF，證明C、E、F三點(diǎn)共線，然后在Rt△ACE中，由∠A=45°，可得AC=CE，同理，DC=CF，再根據(jù)AD=CD-AC，推導(dǎo)即可得；

（2）成立，連接CE、CF，通過證明△ACD∽△ECF，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可得；

（3）連接CE，由A、C、B、F在同一圓上，可知點(diǎn)E為圓心，從而可得CE=EF，再由（2）AD=EF、AC=CE從而可得AC=AD，由已知可得△ACD≌△BCG，從而可得∠ADC=∠AGB=22.5°，可得∠DAG=90°，設(shè)AE=x，則AB =2x，AG=2x+x，AD=x，由勾股定理DG2= (8+4)x2，再由△CDG∽△CAB，可得.

試題解析：（1）如圖（1）連接CE，CF，

∵CA=CB，CD=CG，E為AB中點(diǎn)，F為DG中點(diǎn)，∴CE⊥AB，CF⊥DG，

∵∠C=90°，∴∠CAB=∠CDG=45°，∴AB//DG，∴C、E、F三點(diǎn)共線，

在Rt△ACE中，∠A=45°，∴AC=CE，

同理，DC=CF，

∵AD=CD-AC，EF=CF-CE，

∴AD=EF，

故答案為：AD=EF；

（2）成立．

連接CE、CF，

∵∠ACB=∠DCG=90°，CA=CB，CD=CG，AE=BE，DF=GF，

∴∠ACE=45°，∠DCF=45°，∠CAB=∠CDG=45°，∠AEC=∠DFC=90°，

∴∠ACD=∠ECF，

在Rt△ACE中，∠CAE=45°，∴AC=CE，

同理，DC=CF，

∴AC：CE=DC：CF，

∴△ACD∽△ECF，∴AD：EF=AC：CE=，

∴AD=EF；

（3）連接CE，

∵A、C、B、F四點(diǎn)共圓，∠ACB=90°，AE=EB，∴E為圓心，

∴AE=CE=EF=BE，

∵∠ACB=∠DCG=90°，∴∠ACD=∠BCG，

∵AC=BC，DC=GC，∴△ACD≌△BCG，

∴BG=AD，∠CDA=∠CGB，

由（2）AD=EF、AC=CE，∴AD=AC，

∴CB=BG，∴∠BCG=∠BGC，

∵∠BCG+∠BGC=∠ABC=45°，

∴∠BGC=22.5°，

∴∠ADC=22.5°，

∵∠CGD=∠CDG=45°，∴∠AGD=22.5°，

∴∠AGD+∠CDG+∠ADC=90°，

∴∠DAG=90°，

設(shè)AE=x，則AB =2x，AG=2x+x，AD=x，

由勾股定理DG2=AD2+AG2，

∴DG2=（x）2+（2x+x）2=(8+4)x2，

∵△CDG∽△CAB，

∴.