Question

【題目】某廠家生產(chǎn)并銷售某種產(chǎn)品，假設(shè)銷售量與產(chǎn)量相等，如圖中的折線ABD，線段CD分別表示該產(chǎn)品每千克生產(chǎn)成本y1（單位：元），銷售價(jià)y2（單位：元）與產(chǎn)量x（單位：kg）之間的函數(shù)關(guān)系．

（1）請(qǐng)解釋圖中點(diǎn)D的實(shí)際意義．
（2）求線段CD所表示的y2與x之間的函數(shù)表達(dá)式．
（3）當(dāng)該產(chǎn)品產(chǎn)量為多少時(shí)，獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：點(diǎn)D的實(shí)際意義：當(dāng)產(chǎn)量為140kg時(shí)，該產(chǎn)品每千克生產(chǎn)成本與銷售價(jià)相等，都為40元

（2）解：設(shè)線段CD所表示的y2與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y2=k1x+b1，

∵點(diǎn)（0，124），（140，40）在函數(shù)y2=k1x+b1的圖象上

∴ ，解得： ，

∴y2與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y2=﹣ x+124（0≤x≤140）

（3）解：設(shè)線段AB所表示的y1與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y1=k2x+b2，

∵點(diǎn)（0，60），（100，40）在函數(shù)y1=k2x+b2的圖象上

∴ ，解得： ，

∴y1與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y1=﹣ x+60（0≤x≤100）

設(shè)產(chǎn)量為x千克時(shí)，獲得的利潤(rùn)為W元

①當(dāng)0≤x≤100時(shí)，W=[（﹣ x+124）﹣（﹣ x+60）]x=﹣ （x﹣80）2+2560，

∴當(dāng)x=80時(shí)，W的值最大，最大值為2560元．

②當(dāng)100≤x≤140時(shí)，W=[（﹣ x+124）﹣40]x=﹣ （x﹣70）2+2940

由﹣ ＜0知，當(dāng)x≥70時(shí)，W隨x的增大而減小

∴當(dāng)x=100時(shí)，W的值最大，最大值為2400元．

∵2560＞2400，

∴當(dāng)該產(chǎn)品的質(zhì)量為80kg時(shí)，獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為2560元

【解析】（1）交點(diǎn)D為x取相同數(shù)時(shí)y1=y2所以易得點(diǎn)D的實(shí)際意義。
（2）已知點(diǎn)C，點(diǎn)D坐標(biāo)，所以易由待定系數(shù)法求得直線CD的解析式。
（3）由于銷售量與產(chǎn)量的函數(shù)圖像分為兩段，所以需要分情況討論，而我們的利潤(rùn)是（售價(jià)-成本）×數(shù)量，所以結(jié)合（2）中的解析式可得利潤(rùn)的解析式分別為①當(dāng)0≤x≤100時(shí)W==﹣ （x﹣80）2+2560②當(dāng)100≤x≤140時(shí)，W=﹣ （x﹣70）2+2940，結(jié)合兩個(gè)函數(shù)的最值，可得結(jié)果。
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的二次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的最值，需要了解增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減��；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小；如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時(shí)，y最值=(4ac-b2)/4a才能得出正確答案．