Question

已知拋物線m：y=ax²-2ax+a-1，頂點為A，將拋物線m繞著點（-1，0）旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線n，頂點為C．
（1）當(dāng)a=1時．試求拋物線n的頂點C的坐標(biāo)，再求它的解析式；
（2）在（1）中，請你分別在拋物線m、n上各取一點B、D（除點A、C外），使得四邊形ABCD成為平行四邊形（直接寫出所取點的坐標(biāo)）；
（3）拋物線n與拋物線m的對稱軸的交點為P，①若AP=6，試求a的值．②拋物線m與拋物線n的對稱軸的交點為Q，若四邊形APCQ能成為菱形，直接求出菱形的周長；若四邊形APCQ不能成為菱形，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）將a=1代入y=ax²-2ax+a-1，得到拋物線m的解析式為y=x²-2x，運用配方法得到其頂點A的坐標(biāo)為（1，-1），根據(jù)中心對稱的性質(zhì)得出點A繞著點（-1，0）旋轉(zhuǎn)180°后的對應(yīng)點C的坐標(biāo)為（-3，1），由此得出拋物線n的解析式為y=-（x+3）²+1，或y=-x²-6x-8；
（2）設(shè)B點坐標(biāo)為（p，p²-2p），D（q，-q²-6q-8），根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出平行四邊形ABCD的對角線AC的中點與BD的中點重合，由中點坐標(biāo)公式求出AC的中點坐標(biāo)為（-1，0），則=-1，即q=-2-p，任意取一個p的值，可計算得出點B、D的坐標(biāo)，例如取p=2，則q=-4，p²-2p=0，-q²-6q-8=0，即B（2，0），D（-4，0），答案不唯一；
（3）①設(shè)拋物線n的解析式為y=-a（x+3）²+1，將x=1代入，得到y(tǒng)=-16a+1，即點P（1，-16a+1），根據(jù)AP=6，列出方程|-1-（-16a+1）|=6，解方程即可；
②設(shè)拋物線m的解析式為y=a（x-1）²-1，將x=-3代入，得到y(tǒng)=16a-1，即點Q的坐標(biāo)為（-3，16a-1）．由A、P、C、Q四點的坐標(biāo)可知AP∥CQ且AP=CQ，則四邊形APCQ是平行四邊形．若四邊形APCQ能成為菱形，則AP=CP，由此列出方程（-16a+2）²=（1+3）²+（-16a+1-1）²，解方程求出a=-，則AP=5，根據(jù)菱形的周長公式即可求解．
解答：解：（1）當(dāng)a=1時，拋物線m的解析式為y=x²-2x=（x-1）²-1，
頂點A（1，-1），點A繞著點（-1，0）旋轉(zhuǎn)180°后得到頂點C的坐標(biāo)為（-3，1），
根據(jù)題意，可得拋物線n的解析式為y=-（x+3）²+1，或y=-x²-6x-8；

（2）如圖，設(shè)B點坐標(biāo)為（p，p²-2p），D（q，-q²-6q-8），
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴對角線AC與BD互相平分，即AC的中點與BD的中點重合，
∵AC的中點坐標(biāo)為（-1，0），
∴=-1，q=-2-p．
取p=2，則q=-4，p²-2p=0，-q²-6q-8=0，即B（2，0），D（-4，0）；
取p=0，則q=-2，p²-2p=0，-q²-6q-8=0，即B（0，0），D（-2，0）；
取p=3，則q=-5，p²-2p=3，-q²-6q-8=-3，即B（3，3），D（-5，-3）；
答案不唯一；

（3）①如圖，設(shè)拋物線n的解析式為y=-a（x+3）²+1，
∵拋物線m的對稱軸為直線x=1，
∴當(dāng)x=1時，y=-16a+1，
∴點P的坐標(biāo)為（1，-16a+1），
∵AP=6，A（1，-1），
∴|-1-（-16a+1）|=6，
∴16a-2=±6，
當(dāng)16a-2=6時，a=；
當(dāng)16a-2=-6時，a=-；

②如圖，設(shè)拋物線m的解析式為y=a（x-1）²-1，
∵拋物線n的對稱軸為直線x=-3，
∴當(dāng)x=-3時，y=16a-1，
∴點Q的坐標(biāo)為（-3，16a-1）．
又∵A（1，-1），C（-3，1），P（1，-16a+1），
∴AP∥CQ∥y軸，AP=CQ=-16a+2，
∴四邊形APCQ是平行四邊形．
若四邊形APCQ能成為菱形，則AP=CP，
即（-16a+2）²=（1+3）²+（-16a+1-1）²，
整理，得16a=-3，解得a=-，
∴當(dāng)a=-時，四邊形APCQ能成為菱形，
∵AP=-16a+2=5，
∴菱形的周長為：4AP=20．
點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有二次函數(shù)的性質(zhì)，中心對稱的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，中點坐標(biāo)公式，兩點間的距離公式，菱形的性質(zhì)，綜合性較強，難度適中．運用數(shù)形結(jié)合、方程思想是解題的關(guān)鍵．