Question

如圖，已知矩形紙片ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC長(zhǎng)為10cm，且AB、BC的長(zhǎng)為關(guān)于x的方程x²-2（k-2）x+k²-4k+3=0的兩根，其中AB＜BC．
（1）求k的值；
（2）若將矩形紙片沿圖中虛線(xiàn)折疊，點(diǎn)B恰好落在對(duì)角線(xiàn)AC上點(diǎn)F處，求折痕AE的長(zhǎng)．

Answer 1

解：（1）∵AB、BC的長(zhǎng)為關(guān)于x的方程x²-2（k-2）x+k²-4k+3=0的兩根，AB＜BC，
∴原方程可變?yōu)�；[x-（k-1）][x-（k-3）]=0，
解得：x₁=k-1，x₂=k-3，
∴BC=k-1，AC=k-3，
∴（k-1）²+（k-3）²=100，
解得：k₁=9，k₂=-5（不合題意舍去），
∴k的值為9；

（2）由（1）得：BC=k-1=8，AC=k-3=9-3=6，
∵將矩形紙片沿圖中虛線(xiàn)折疊，點(diǎn)B恰好落在對(duì)角線(xiàn)AC上點(diǎn)F處，
∴AB=AF=6，BE=EF，∠AFE=90°，
∴設(shè)BE=EF=x，則FC=10-6=4，EC=8-x，
∴x²+4²=（8-x）²，
解得：x=3，
∴AE===3．
分析：（1）首先用k表示出BC，AC的長(zhǎng)，進(jìn)而利用勾股定理求出k的值；
（2）利用（1）中所求得出BE=EF=x，則FC=10-6=4，EC=8-x，利用x²+4²=（8-x）²，進(jìn)而求出即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了折疊的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)以及勾股定理，利用疊前后圖形的形狀和大小不變，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等得出是解題關(guān)鍵．