Question

點(diǎn)P在等腰Rt△ABC的斜邊AB所在直線上，若記：k=AP²+BP²，則（　�。�

A．滿足條件k＜2CP²的點(diǎn)P有且只有一個

B．B滿足條件k＜2CP²的點(diǎn)P有無數(shù)個

C．C滿足條件k=2CP²的點(diǎn)P有有限個

D．對直線AB上的所有點(diǎn)P，都有k=2CP²

Answer 1

分析：此題分兩種情況討論：①當(dāng)P在線段AB上，②當(dāng)P在直線AB上（線段AB以外的部分）；可利用勾股定理來探討符合要求的點(diǎn)P有哪些．

解答：解：當(dāng)P為AB上時，假設(shè)P為中點(diǎn)時，AP=PB=PC，滿足條件，
當(dāng)點(diǎn)P不為中點(diǎn)時，過點(diǎn)C作AB的垂線，亦滿足條件；
當(dāng)點(diǎn)P在BA的延長線上時，過點(diǎn)P作PF⊥BC，PE⊥CA；
PC²=PF²+CF²，AP²=AE²+PE²=AE²+FC²=2CF²
PB²=BF²+PF²=PF²+（BC+CF）²=2PF²
AP²+PB²=2CF²+PF²+PF²
2PC²=2PF²+2CF²
所以AP²+PB²=2PC²，
即k=2CP²；
同理，當(dāng)點(diǎn)P在AB的延長線上時，k=2CP²．
綜上可知：k=2CP²．
故選D．

點(diǎn)評：此題主要考查的是勾股定理的應(yīng)用，解法并不復(fù)雜，難點(diǎn)在于將問題考慮全面．