Question

如圖，AB是⊙O的直徑，BC是點B的直線，連接CO并延長，交⊙O于點D、E，連接AD并延長，交BC于點F且∠CBD=∠ADE．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）求證：；
（3）若AB=1，tan∠CDF=，求CD的值．

Answer 1

（1）證明：∵∠CBD=∠ADE，∠ADB=90°（直徑所對的圓周角是直角），
∴∠DAB+∠DBA=∠CBD+∠DBA=90°，
∴BC⊥AB，
∴BC是⊙O的切線；

（2）證明：
∵∠BED=∠BAD（同弧所對的圓周角相等），即∠BEC=∠BAD，
∴∠DBC=∠BEC；
又∵∠BCD=∠ECB（公共角），
∴△BDC∽△EBC，
∴=，
∵∠BOE=∠AOD，
∴BE=AD，
∴；

（3）解：∵AB=1，∴ED=1，BO=DO=，
∵BO=AO=DO，
∴∠ODA=∠A=∠E，
∵∠CDF=∠ADE，
∴∠ODA=∠A=∠E=∠CDF，
∵tan∠CDF=，
∴tan∠DEB==，
∵=，
∴=，
∴設(shè)CD=x，BC=3x，
∵BO²+BC²=CO²，
∴（）²+（3x）²=（+x）²，
解得：x=，
∴CD的值為：×=2．
分析：（1）欲證BC是⊙O的切線，只需證明BC⊥AB即可；
（2）根據(jù)相似三角形（△BDC∽△EBC）的對應(yīng)邊成比例知=，進而得出AD=BE，即可得出；
（3）根據(jù)已知得出DE是⊙O的直徑，進而得出BO，DO的長，再利用（2）中相似的性質(zhì)以及勾股定理求出即可．
點評：本題主要考查了切線的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、銳角三角函數(shù)定義等知識點，關(guān)鍵在于已知條件推出△BDC∽△EBC．