闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌熼梻瀵割槮缁炬儳婀遍埀顒傛嚀鐎氼參宕崇壕瀣ㄤ汗闁圭儤鍨归崐鐐差渻閵堝棗绗傜紒鈧笟鈧畷婊堫敇閻戝棙瀵岄梺闈涚墕濡鎱ㄨ缁辨帡鎮╅崘鑼紝闂佺粯渚楅崳锝嗘叏閳ь剟鏌曢崼婵囶棤闁告ɑ鎹囬弻鈩冨緞鐏炴垝娌繝銏㈡嚀濡繂鐣峰┑鍡╁悑闁糕剝鍔掔花濠氭⒑閸濆嫬鈧悂鎮樺┑瀣垫晜妞ゆ劑鍊楃壕濂稿级閸稑濡界€规洖鐬奸埀顒冾潐濞叉ḿ鏁幒妤嬬稏婵犻潧顑愰弫鍕煢濡警妲峰瑙勬礋濮婃椽宕ㄦ繝鍕窗闂佺ǹ瀛╂繛濠囧箚鐏炶В鏋庨柟鎯ь嚟閸橀亶姊洪崫鍕偍闁告柨鐭傞幃姗€鎮╅悽鐢碉紲闂佺粯鐟㈤崑鎾绘煕閵娿儳鍩g€殿喖顭锋俊鎼佸煛閸屾矮绨介梻浣呵归張顒傜矙閹达富鏁傞柨鐕傛嫹濠电姷鏁告慨鐑藉极閸涘﹥鍙忛柣鎴f閺嬩線鏌涘☉姗堟敾闁告瑥绻橀弻锝夊箣閿濆棭妫勯梺鍝勵儎缁舵岸寮婚悢鍏尖拻閻庨潧澹婂Σ顔剧磼閹冣挃缂侇噮鍨抽幑銏犫槈閵忕姷顓洪梺鍝勫暊閸嬫捇鏌涢妶鍛ч柡灞剧洴婵$兘顢欓悡搴樻嫽闂備浇妗ㄧ粈浣该洪銏犺摕闁哄浄绱曢悿鈧梺鍝勬川閸婎偊濡烽敂杞扮盎闂佹寧妫侀褍鈻嶅澶嬬厵妞ゆ梻鐡斿▓婊呪偓瑙勬礃椤ㄥ棗顕ラ崟顒傜瘈濞达絽澹婂Λ婊堟⒒閸屾艾鈧绮堟笟鈧獮澶愬灳鐡掍焦妞介弫鍐磼濮樻唻绱卞┑鐘灱閸╂牠宕濋弴銏犲強闁靛鏅滈悡鐔兼煙闁箑鏋涢柛鏂款儔閺屽秹鏌ㄧ€n亞浼岄梺璇″枛缂嶅﹪鐛笟鈧獮鎺楀箣濠垫劗鈧櫕绻濋悽闈涗粶闁瑰啿绻樺畷婵嗏枎閹惧疇鎽曢梺缁樻⒒閸樠呯矆閸曨垱鐓忛柛顐g箖椤ユ粍銇勮箛銉﹀
在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=DC=2cm,BC=4cm,在等腰△PQR中,∠QPR=120°,底邊QR=6cm,點(diǎn)B、C、Q、R在同一直線(xiàn)l上,且C、Q兩點(diǎn)重合,如果等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直線(xiàn)l箭頭所示方向勻速運(yùn)動(dòng),t秒時(shí)梯形ABCD與等腰△PQR重合部分的面積記為S平方厘米
(1)求∠DCB的度數(shù)及梯形ABCD與△PQR的高?精英家教網(wǎng)
(2)當(dāng)t=4時(shí),求S的值;
(3)當(dāng)4≤t≤10,求S與t的函數(shù)關(guān)系式,并求出S的最大值.
分析:(1)作輔助線(xiàn):過(guò)點(diǎn)A作AE∥CD,AF⊥BC于F,即可求得:四邊形ADCE是平行四邊形,利用等腰梯形與平行四邊形的性質(zhì),即可求得AB=AE=BE,則可求得∠B的度數(shù),由三角函數(shù)即可求得梯形ABCD的高的值;在等腰三角形PQR中,由三線(xiàn)合一與三角函數(shù)的性質(zhì),即可求得△PQR的高;
(2)首先判定當(dāng)t=4時(shí),點(diǎn)B與點(diǎn)Q重合,點(diǎn)P與點(diǎn)D重合,則求△BDC的面積即可;
(3)分別從4≤x<6與6≤x≤10去分析,求得各自的函數(shù)解析式,再分析各種情況下的最大值即可求得答案.
解答:解:(1)過(guò)點(diǎn)A作AE∥CD,AF⊥BC于F,
∵AD∥BC,
∴四邊形ADCE是平行四邊形,精英家教網(wǎng)
∴EC=AD=2cm,AE=CD=2cm,
∴BE=BC-EC=4-2=2(cm),
∵AB=2cm,AE=2cm,
∴AB=AE=BE,
∴∠B=60°;
∴sin∠B=sin60°=
AF
AB
=
3
2
,
∴AF=
3
cm,
∴梯形ABCD的高為
3
cm;
過(guò)點(diǎn)P作PG⊥QR于G,
∵PQ=PR,
∴∠QPG=
1
2
∠QPR=
1
2
×120°=60°,QG=
1
2
QR=
1
2
×6=3cm,
∴tan∠QPG=tan60°=
QG
PG
=
3
,
∴PG=
3
cm,
∴△PQR的高為
3
cm;

(2)當(dāng)t=4時(shí),CQ=4cm,
過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于E,過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于F,
∵AE=DF=
3
cm,∠AEB=∠DFC=90°,AB=CD,精英家教網(wǎng)
∴△ABE≌△DFC,
∴BE=CF,
∵EF=AD=2cm,BC=4cm,
∴BE=CF=1cm,
∴點(diǎn)D與點(diǎn)P重合,
∴S△BDC=
1
2
BC•DF=
1
2
×4×
3
=2
3
(cm2);

(3)當(dāng)4≤x<6時(shí),P在線(xiàn)段AD上,作KH⊥QR,
∵∠Q=30°,∠1=60°,
∴∠2=∠1-∠Q=30°,精英家教網(wǎng)
∠3=∠2=30°,
∴QB=BM=QC-BC=t-4,
∵∠R=∠Q=30°,∠DCB=∠ABC=60°,
∴∠CKR=∠DCB-∠R=30°=∠R,
∴KC=CR=6-t,
∴HK=KC sin60°=
3
2
(6-t)
∴同理:MN=
3
2
(t-4),
∴S=S△PQR-S△BQM-S△CRK=
1
2
QR•PG-
1
2
BQ•EM-
1
2
CR•FN
=
1
2
×6×
3
-
1
2
×
3
2
(t-4)2-
1
2
×
3
2
(6-t)2
=-
3
2
t2+5
3
t-10
3

∵a=-
3
2
<0,開(kāi)口向下,
∴S有最大值,
當(dāng)t=-
5
3
2×(-
3
2
)
=5時(shí),S最大值為
5
3
2
;
當(dāng)6≤x≤10時(shí),P在線(xiàn)段DA的延長(zhǎng)線(xiàn)上,
∵∠1=60°,∠2=30°,
∴∠3=90°
∴RC=t-6,BR=4-RC=4-(t-6)=10-t,精英家教網(wǎng)
∴TB=
1
2
BR=
10-t
2
,TR=
3
2
BR=
3
2
(10-t),
∴S=
1
2
TB•TR=
1
2
×
10-t
2
×
3
2
(10-t)=
3
8
t2-
5
3
2
t+
25
3
2

當(dāng)a>0時(shí),開(kāi)口向上,-
b
2a
=10,
∴t=6時(shí),S最大值為2
3

綜上,t=5時(shí),S最大值為
5
3
2
點(diǎn)評(píng):此題考查了等腰梯形,等腰三角形和直角三角形的性質(zhì),以及二次函數(shù)等知識(shí).此題屬于動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題,難度較大,注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

10、如圖,在梯形ABCD中,若AB∥CD,BD=AD,∠BCD=110°,∠CBD=30°,則∠ADC=
140°

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在梯形ABCD中,AB∥CD,E是AB邊上的點(diǎn),給出下面三個(gè)論斷:①AD=BC;②DE=CE;③AE=BE.請(qǐng)你以其中的兩個(gè)論斷為條件,填入“已知”欄中,以一個(gè)論斷作為結(jié)論,填入“求證”欄中,使之成為一個(gè)正確的命題,并證明之.
已知:如圖,在梯形ABCD中,AB∥CD,E是AB邊上的點(diǎn),
AD=BC,AE=BE
AD=BC,AE=BE

求證:
DE=CE
DE=CE
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌熼梻瀵割槮缁炬儳缍婇弻锝夊箣閿濆憛鎾绘煕閵堝懎顏柡灞剧洴楠炴﹢鎳犻澶嬓滈梻浣规偠閸斿秶鎹㈤崘顔嘉﹂柛鏇ㄥ灠閸愨偓濡炪倖鍔﹀鈧紒顔煎缁辨挻鎷呴幓鎺嶅濠电姰鍨煎▔娑㈩敄閸曨厽宕查柛鈩冪⊕閻撳繘鏌涢锝囩畺闁革絾妞介弻娑㈡晲閸涱喛纭€缂備浇椴哥敮锟犲箖閳哄懏顥堟繛鎴炲笚閻庝即姊绘担鍛婃儓闁活剙銈稿畷浼村冀椤撶姴绁﹂梺纭呮彧缁犳垹绮诲☉銏♀拻闁割偆鍠撻埊鏇熴亜閺傚灝顏慨濠勭帛閹峰懘宕ㄦ繝鍌涙畼濠电儑绲藉ú锕€顪冩禒瀣櫜闁绘劖娼欑欢鐐烘煙闁箑鍔﹂柨鏇炲€归悡鏇㈡煛閸ャ儱濡奸柣蹇曞У娣囧﹪顢曢敐蹇氣偓鍧楁煛鐏炲墽娲撮柍銉畵楠炲鈹戦崶鈺€澹曠紓鍌氬€风粈渚€顢栭崨顖涘床闁圭増婢橀悡姗€鏌熸潏楣冩闁稿﹦鍏橀弻銈囧枈閸楃偛顫梺鍛婃煥閹诧紕鎹㈠☉姘e亾濞戞瑡缂氶柣顓滃€曢湁婵犲﹤绨肩花缁樸亜閺囶亞绋荤紒缁樼箓椤繈顢橀悢鍓蹭户闂傚倷鑳剁划顖涚仚闁诲繐绻戦悷鈺佺暦閹扮増鍊烽柣鎴炃氶幏娲煟鎼粹剝璐″┑顔炬暬婵℃挳宕橀埡鈧换鍡涙煟閹邦厽缍戞繛鎼枟椤ㄣ儵鎮欏顔煎壉濡炪倧濡囨晶妤呭箚閺冨牊鏅查柛銉╊棑鎼村﹪姊婚崒娆掑厡缂侇噮鍨跺畷婵嬫晝閸屾氨顦┑鐐叉閹稿摜绮堟径鎰厪闁割偅绻冮ˉ鎾趁瑰⿰鍕煁闁靛洤瀚伴獮妯兼崉閻╂帇鍨介弻娑樜熼搹瑙勬喖濡炪們鍔婇崕鐢稿箖濞嗘挸绠甸柟鐑樻尰椤斿嫰姊洪崜褏甯涢柣妤冨█瀵鈽夊Ο閿嬵潔闂佸憡顨堥崑鐐烘倶閸喓绠鹃悗鐢登归宀勬煕濞嗗繐鏆欐い顐㈢箻閹煎綊宕烽鐙呯床婵犳鍠楅〃鍛涘▎鎾村仼闁割偅娲橀埛鎴犵磽娴g櫢渚涙繛鍫熸閺屻劑寮撮妸銈夊仐闂佺粯渚楅崰娑氱不濞戞ǚ妲堟繛鍡樺灥婵悂鏌f惔锛勭暛闁稿骸宕灋鐎光偓閸曨偆顔嗗┑鐐叉▕娴滄繈鍩涢幋锔界厱婵炴垶锕崝鐔虹磼閻樿櫕宕岄柟顔筋殔椤繈鎮℃惔锛勭潉闂備浇妗ㄧ粈浣虹矓閻熼偊鍤曟い鏇楀亾鐎规洘甯掗オ浼村椽閸愵亜绨ラ梻鍌氬€风粈渚€骞栭銈嗗仏妞ゆ劧绠戠壕鍧楁煙閹澘袚闁稿鏅滅换娑橆啅椤旇崵鍑归梺缁樻尰缁嬫垿婀侀梺鎸庣箓閹冲繘骞夐幖浣告瀬闁割偅鎯婇弮鍫熷亹闂傚牊绋愮划璺衡攽閻愬弶鈻曢柛娆忓暣婵″瓨绗熼埀顒€顕f禒瀣垫晣闁绘劙娼ч獮鎰版⒒娴e憡鍟為柛鏃€鍨垮畷婵嗩吋婢跺鈧爼鏌涢鐘插姕闁稿﹦鏁婚幃宄扳枎韫囨搩浠剧紓浣插亾闁告劏鏂傛禍婊堟煏婵炲灝鍔甸棅顒夊墯椤ㄣ儵鎮欑拠褑鍚悗娈垮枙缁瑩銆佸鈧幃娆撴濞戞ḿ顔囬梻鍌氬€风粈渚€骞夐敓鐘茬闁硅揪绠戠粈澶愬箹濞n剙濡肩痪鎯х秺閺屻劑鎮ら崒娑橆伓

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,過(guò)點(diǎn)A作AE∥DB交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E.
(1)試說(shuō)明∠ABD=∠CBD.
(2)若∠C=2∠E,試說(shuō)明AB=DC.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD,BD=BC,∠A=100°,則∠BDC的度數(shù)為(  )

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=
8
cm,AD=3cm,DC=
5
cm,∠B=45°,點(diǎn)P是下底BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),從B向C以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng),到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(s).
(1)求BC的長(zhǎng);
(2)當(dāng)t為何值時(shí),四邊形APCD是等腰梯形;
(3)當(dāng)t為何值時(shí),以A、B、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形.
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌熼梻瀵割槮缁炬儳缍婇弻锝夊箣閿濆憛鎾绘煕閵堝懎顏柡灞剧洴楠炴﹢鎳犻澶嬓滈梻浣规偠閸斿秶鎹㈤崘顔嘉﹂柛鏇ㄥ灠閸愨偓濡炪倖鍔﹀鈧紒顔煎缁辨挻鎷呴幓鎺嶅濠电姰鍨煎▔娑㈩敄閸曨厽宕查柛鈩冪⊕閻撳繘鏌涢锝囩畺闁革絾妞介弻娑㈡晲閸涱喛纭€缂備浇椴哥敮锟犲箖閳哄懏顥堟繛鎴炲笚閻庝即姊绘担鍛婃儓闁活剙銈稿畷浼村冀椤撶姴绁﹂梺纭呮彧缁犳垹绮诲☉銏♀拻闁割偆鍠撻埊鏇熴亜閺傚灝顏慨濠勭帛閹峰懘宕ㄦ繝鍌涙畼濠电儑绲藉ú锕€顪冩禒瀣櫜闁绘劖娼欑欢鐐烘煙闁箑鍔﹂柨鏇炲€归悡鏇㈡煛閸ャ儱濡奸柣蹇曞У娣囧﹪顢曢敐蹇氣偓鍧楁煛鐏炲墽娲撮柍銉畵楠炲鈹戦崶鈺€澹曠紓鍌氬€风粈渚€顢栭崨顖涘床闁圭増婢橀悡姗€鏌熸潏楣冩闁稿﹦鍏橀弻銈囧枈閸楃偛顫梺鍛婃煥閹诧紕鎹㈠☉姘e亾濞戞瑡缂氶柣顓滃€曢湁婵犲﹤绨肩花缁樸亜閺囶亞绋荤紒缁樼箓椤繈顢橀悢鍓蹭户闂傚倷鑳剁划顖涚仚闁诲繐绻戦悷鈺佺暦閹扮増鍊烽柣鎴炃氶幏娲煟鎼粹剝璐″┑顔炬暬婵℃挳宕橀埡鈧换鍡涙煟閹邦厽缍戞繛鎼枟椤ㄣ儵鎮欏顔煎壉濡炪倧濡囨晶妤呭箚閺冨牊鏅查柛銉╊棑鎼村﹪姊婚崒娆掑厡缂侇噮鍨跺畷婵嬫晝閸屾氨顦┑鐐叉閹稿摜绮堟径鎰厪闁割偅绻冮ˉ鎾趁瑰⿰鍕煁闁靛洤瀚伴獮妯兼崉閻╂帇鍨介弻娑樜熼搹瑙勬喖濡炪們鍔婇崕鐢稿箖濞嗘挸绠甸柟鐑樻尰椤斿嫰姊洪崜褏甯涢柣妤冨█瀵鈽夊Ο閿嬵潔闂佸憡顨堥崑鐐烘倶閸喓绠鹃悗鐢登归宀勬煕濞嗗繐鏆欐い顐㈢箻閹煎綊宕烽鐙呯床婵犳鍠楅〃鍛涘▎鎾村仼闁割偅娲橀埛鎴犵磽娴g櫢渚涙繛鍫熸閺屻劑寮撮妸銈夊仐闂佺粯渚楅崰娑氱不濞戞ǚ妲堟繛鍡樺灥婵悂鏌f惔锛勭暛闁稿骸宕灋鐎光偓閸曨偆顔嗗┑鐐叉▕娴滄繈鍩涢幋锔界厱婵炴垶锕崝鐔虹磼閻樿櫕宕岄柟顔筋殔椤繈鎮℃惔锛勭潉闂備浇妗ㄧ粈浣虹矓閻熼偊鍤曟い鏇楀亾鐎规洘甯掗オ浼村椽閸愵亜绨ラ梻鍌氬€风粈渚€骞栭銈嗗仏妞ゆ劧绠戠壕鍧楁煙閹澘袚闁稿鏅滅换娑橆啅椤旇崵鍑归梺缁樻尰缁嬫垿婀侀梺鎸庣箓閹冲繘骞夐幖浣告瀬闁割偅鎯婇弮鍫熷亹闂傚牊绋愮划璺衡攽閻愬弶鈻曢柛娆忓暣婵″瓨绗熼埀顒€顕f禒瀣垫晣闁绘劙娼ч獮鎰版⒒娴e憡鍟為柛鏃€鍨垮畷婵嗩吋婢跺鈧爼鏌涢鐘插姕闁稿﹦鏁婚幃宄扳枎韫囨搩浠剧紓浣插亾闁告劏鏂傛禍婊堟煏婵炲灝鍔甸棅顒夊墯椤ㄣ儵鎮欑拠褑鍚悗娈垮枙缁瑩銆佸鈧幃娆撴濞戞ḿ顔囬梻鍌氬€风粈渚€骞夐敓鐘茬闁硅揪绠戠粈澶愬箹濞n剙濡肩痪鎯х秺閺屻劑鎮ら崒娑橆伓

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