Question

【題目】如圖，點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連結(jié)OB、OC，并將AB、OB、OC、AC的中點(diǎn)D、E、F、G依次連結(jié)，得到四邊形DEFG．
（1）求證：四邊形DEFG是平行四邊形；
（2）若M為EF的中點(diǎn)，OM=3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵D、G分別是AB、AC的中點(diǎn)，

∴DG//BC，DG= BC，

∵E、F分別是OB、OC的中點(diǎn)，

∴EF//BC，EF= BC，

∴DG=EF，DG//EF，

∴四邊形DEFG是平行四邊形

（2）解：∵∠OBC和∠OCB互余，

∴∠OBC+∠OCB=90°，

∴∠BOC=90°，

∵M(jìn)為EF的中點(diǎn)，OM=3，

∴EF=2OM=6．

由（1）有四邊形DEFG是平行四邊形，

∴DG=EF=6

【解析】（1）根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得EF//BC且EF= BC，DG//BC且DG= BC，從而得到DE=EF，DG//EF，再利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明即可；（2）先判斷出∠BOC=90°，再利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，求出EF即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握若一直線過(guò)平行四邊形兩對(duì)角線的交點(diǎn)，則這條直線被一組對(duì)邊截下的線段以對(duì)角線的交點(diǎn)為中點(diǎn)，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積才能正確解答此題．