(1)方程x2+px+1997=0恰有兩個正整數(shù)根x1,x2,則
p
(x1+1)(x2+1)
的值是
 

(2)已知k為整數(shù),且關于x的方程(k2-1)x2-3(3k-1)x+18=0有兩個不相同的正整數(shù)根,則k=
 

(3)兩個質(zhì)數(shù)a,b恰好是關于x的方程x2-21x+t=0的兩個根,則
b
a
+
a
b
=
 

(4)方程x2+px+q=0的兩個根都是正整數(shù),并且p+q=1992,則方程較大根與較小根的比等于
 

(5)已知方程(a2-1)x2-2(5a+1)x+24=0有兩個不相等的負整數(shù)根,則整數(shù)a的值是
 
分析:(1)根據(jù)十字相乘法分解原方程的左邊,然后根據(jù)質(zhì)數(shù)的定義及根與系數(shù)的關系來解答;
(2)與(5)由根的判別式首先大體確定取值,再根據(jù)題目要求與根與系數(shù)的關系確定取值即可;
(3)根據(jù)一元二次方程中根與系數(shù)的關系確定a與b的關系式,再由質(zhì)數(shù)的定義確定a與b的取值即可;
(4)根據(jù)一元二次方程中根與系數(shù)的關系確定關系式,抓住關系式p+q+1=x1x2-x1-x2+1=(x1-1)(x2-1)=1992+1=1993是解題的關鍵,再由質(zhì)數(shù)的性質(zhì)即可求解.
解答:解:(1)∵方程x2+px+1997=0恰有兩個正整數(shù)根,顯然原方程可以化簡為(x-a)(x-b)=0,根據(jù)十字相乘ab一定為1997的約數(shù),
又∵1997是質(zhì)數(shù),
∴a=1,b=1997;
∴p=-1998
∵x1+x2=-p,x1•x2=1997,
p
(x1+1)(x2+1)

=
p
x1x2+(x1+x2)+1

=
p
1997-p+1

=
p
1998-p

=
-1998
1998-(-1998)

=-
1
2
;
故答案為:-
1
2

(2)∵關于x的方程(k2-1)x2-3(3k-1)x+18=0有兩個不相同的根,
△=9×(3k-1)2-4(k2-1)×18>0
k2-1≠0

解得,k≠±1,且k≠3;
∵k為整數(shù),且關于x的方程(k2-1)x2-3(3k-1)x+18=0有兩個不相同的正整數(shù)根,
∴設兩根分別為:a與b,
則ab=
18
k2-1
,a+b=
9k-3
k2-1
,ab>0,a+b>0,
∴k2-1=3,
∴k=2.
故答案為:2.
(3)∵兩個質(zhì)數(shù)a,b恰好是關于x的方程x2-21x+t=0的兩個根,
∴a+b=21,ab=t,
∵a,b是質(zhì)數(shù),
∴a=2,b=19或a=19,b=2,
b
a
+
a
b
=
19
2
+
2
19
=
365
38

故答案為:
365
38

(4)設兩根分別為x1,x2,
則x1+x2=-p,x1x2=q,
p+q+1=x1x2-x1-x2+1=(x1-1)(x2-1)=1992+1=1993,
∵把1993分解,1993是質(zhì)數(shù),不能分解,
不妨假設x1>x2,只能是:
x1-1=1993,x2-1=1,
x1=1994,x2=2,
∴大根比小根為:
1994
2
=997.
故答案為:997.
(5)∵方程(a2-1)x2-2(5a+1)x+24=0有兩個不相等的負整數(shù)根,
△=4(5a+1)2-4(a2-1)×24>0
a2-1≠0
,
解得,a≠±1,且a≠-5;
∵方程(a2-1)x2-2(5a+1)x+24=0有兩個不相等的負整數(shù)根,
∴設兩根分別為:a與b,
則ab=
24
a2-1
,a+b=
10a+2
a2-1
,ab>0,a+b<0,
∴a2-1=3,
∴a=-2.
故答案為:-2.
點評:此題考查了一元二次方程中根與系數(shù)的關系及韋達定理,解題的關鍵是靈活應用關系式與已知條件進行分析求解.
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