Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bx+4與x軸的正半軸相交于點A，與y軸相交于點B，點C在線段OA上，點D在此拋物線上，CD⊥x軸，且∠DCB=∠DAB，AB與CD相交于點E．

（1）求證：△BDE∽△CAE；
（2）已知OC=2，tan∠DAC=3，求此拋物線的表達式．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵∠DCB=∠DAB，∠BEC=∠DEA，

∴△BEC∽△DEA，

∴ = ，又∠BED=∠CEA，

∴△BDE∽△CAE；

（2）

解：∵拋物線y=ax2+bx+4與y軸相交于點B，

∴點B的坐標為（0，4），即OB=4，

∵tan∠DAC=3，

∴ =3，

設AC=m，則DC=3m，OA=m+2，

則點A的坐標為（m+2，0），點D的坐標為（2，3m），

∵△BDE∽△CAE，

∴∠DBA=∠DCA=90°，

∴BD2+BC2=CD2，即22+（3m﹣4）2+（m+2）2+42=m2+（3m）2，

解得，m=2，

則點A的坐標為（4，0），點D的坐標為（2，6），

∴ ，

解得， ，

∴拋物線的表達式為y=﹣x2+3x+4

【解析】（1）根據(jù)相似三角形的判定定理得到△BEC∽△DEA，根據(jù)相似三角形的性質定理得到 = ，根據(jù)相似三角形的判定定理證明即可；（2）設AC=m，根據(jù)正切的定義得到DC=3m，根據(jù)相似三角形的性質得到∠DBA=∠DCA=90°，根據(jù)勾股定理列出算式，求出m的值，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用二次函數(shù)的概念和二次函數(shù)的圖象的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關系：一般式：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c為常數(shù))，則稱y為x的二次函數(shù)；二次函數(shù)圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點．