Question

如圖，正方形ABCD的邊AD與矩形EFGH的邊FG重合，將正方形ABCD以1cm/秒的速度沿FG方向移動(dòng)，移動(dòng)開(kāi)始前點(diǎn)A與點(diǎn)F重合．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1cm，F(xiàn)G=4cm，GH=3cm，設(shè)正方形移動(dòng)的時(shí)間為x秒，且0≤x≤2.5．
（1）直接填空：DG=

（4-x）

cm（用含x的代數(shù)式表示）；
（2）連結(jié)CG，過(guò)點(diǎn)A作AP∥CG交GH于點(diǎn)P，連結(jié)PD．
①若△DGP的面積記為S₁，△CDG的面積記為S₂，則S₁-S₂的值會(huì)發(fā)生變化嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；
②當(dāng)線段PD所在直線與正方形ABCD的對(duì)角線AC垂直時(shí)，求線段PD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)GF=4cm，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1cm，將正方形ABCD以1cm/秒的速度沿FG方向移動(dòng)，得出正方形移動(dòng)的時(shí)間為x秒時(shí)，表示出DG的長(zhǎng)即可；
（2）①首先得出△CDG∽△PGA，進(jìn)而得出PG的長(zhǎng)，進(jìn)而表示出△DGP的面積S₁，△CDG的面積S₂，即可得出S₁-S₂的值；
②首先得出∠GDP=∠DPG=∠ADB=45°，即可得出PG=DG，進(jìn)而得出x的值，求出PD=

DG

cos45°

，得出即可．

解答：解：（1）由題意可得出：DG=（4-x）；

（2）①答：S₁-S₂不會(huì)發(fā)生變化．
如圖1，
∵AP∥CG，
∴∠CGD=∠GAP，
又∵∠CDG=∠PGA=90°，
∴△CDG∽△PGA，
∴

DG

GA

=

CD

PG

，即

3-x

4-x

=

1

PG

，
∴PG=

4-x

3-x

，
∵S1=

1

2

DG×PG=

1

2

(3-x)×

4-x

3-x

=

1

2

(4-x)，
S2=

1

2

DG×CD=

1

2

(3-x)×1=

1

2

(3-x)，
∴S1-S2=

1

2

(4-x)-

1

2

(3-x)=

1

2

．
②如圖2，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，
∵直線PD⊥AC，
∴點(diǎn)P在對(duì)角線BD所在的直線上，
∴∠GDP=∠DPG=∠ADB=45°，
∴PG=DG，
即：

4-x

3-x

=3-x，
整理得 x²-5x+5=0，
解得x1=

5- 5

2

，x2=

5+ 5

2

，
經(jīng)檢驗(yàn)：x₁，x₂都是原方程的根，
∵0≤x≤2.5，
∴x=

5- 5

2

，
∴DG=PG=3-x=3-

5- 5

2

=

1+ 5

2

，
在Rt△DGP中，PD=

DG

cos45°

=

2

DG=

2 + 10

2

．
故答案為：（3-x）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了四邊形的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)以及一元二次方程的解法，注意自變量的取值范圍得出DG的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．