Question

如圖，一條直線與反比例函數(shù)的圖象交于A（1，4）B（4，n）兩點(diǎn)，與軸交于D點(diǎn)，AC⊥軸，垂足為C．

（1）如圖甲，①求反比例函數(shù)的解析式；②求n的值及D點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）如圖乙，若點(diǎn)E在線段AD上運(yùn)動(dòng)，連結(jié)CE，作∠CEF=45°，EF交AC于F點(diǎn)．試說(shuō)明△CDE∽△EAF；

Answer 1

（1）①，②，D（5，0）；（2）要證△CDE∽△EAF，只要證明出△CDE和△EAF的三個(gè)內(nèi)角分別對(duì)應(yīng)相等，即可得證.

試題分析：（1）①根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)即可求出反比例函數(shù)的解析；②把B點(diǎn)的坐標(biāo)代入求得的反比例函數(shù)的解析式即可求得n的值；利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，令一次函數(shù)的y=0，即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）要證△CDE∽△EAF，只要證明出△CDE和△EAF的三個(gè)內(nèi)角分別對(duì)應(yīng)相等，即可得證.
（1）①∵點(diǎn)A（1，4）在反比例函數(shù)圖象上
∴k=4
即反比例函數(shù)關(guān)系式為；
②∵點(diǎn)B（4，n）在反比例函數(shù)圖象上
∴n=1
設(shè)一次函數(shù)的解析式為y=mx+b
∵點(diǎn)A（1，4）和B（4，1）在一次函數(shù)y=mx+b的圖象上

∴一次函數(shù)關(guān)系式為y=-x+5
令y=0，得x=5
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為D（5，0）；
（2）∵A（1，4），D（5，0），AC⊥x軸
∴C（1，0）
∴AC=CD=4，
即∠ADC=∠CAD=45°，
∵∠AEC=∠ECD+∠ADC=∠ECD+45°，
∠AEC=∠AEF+∠FEC=∠AEF+45°，
∴∠ECD=∠AEF，△CDE和△EAF的兩角對(duì)應(yīng)相等，
∴△CDE∽△EAF．
點(diǎn)評(píng)：此類問(wèn)題綜合性強(qiáng)，難度較大，在中考中比較常見(jiàn)，一般作為壓軸題，題目比較典型．