精英家教網(wǎng)如圖,已知正方形紙片ABCD的邊長為4,⊙O的半徑為1,圓心在正方形的中心上,將紙片按圖示方式折疊,使E A′恰好與⊙O相切于點(diǎn)A′,延長F A′交CD邊于點(diǎn)G,則A′G的長是
 
分析:根據(jù)翻折變換后EA′是⊙0的切線,然后利用切線的性質(zhì),有FG⊥EA′,因為點(diǎn)O是正方形的中心,所以AF=CG,再過點(diǎn)F作DC的垂線交DC于S,在直角△FGS中,設(shè)AF=x,由翻折可知A′F=x,由圓的半徑為1,利用FA+AO表示出OF,由FG=2OF表示出FG,而FS為正方形的邊長為4,GS等于正方形的邊長CD-CG-DS,而CG=DS=AF=x,故表示出SG,用勾股定理列出關(guān)于x的方程,求出方程的解得到線段AF的長,進(jìn)而求出A′G的長.
解答:精英家教網(wǎng)解:如圖,作FS⊥CD于點(diǎn)S點(diǎn),
由翻折可知:△AFE≌△FA′E,
∴FA=FA′,
∵四邊形ADSF是矩形,
∴AF=SD,AD=FS,
又正方形是以O(shè)為對稱中心的中心對稱圖形,
∴AF=CG,F(xiàn)O=OG=
1
2
FG,
設(shè)AF=A′F=DS=CG=x,
則GS=4-2x,F(xiàn)O=FA′+OA′=1+x,F(xiàn)G=2(1+x);
在Rt△FSG中,根據(jù)勾股定理得FG2=GS2+FS2,
即[2(1+x)]2=(4-2x)2+42,
解得x=
7
6
,
∴A′G=FG-FA′=2(1+x)-x=
19
6

故答案為:
19
6
點(diǎn)評:本題考查了中心對稱圖形的性質(zhì),正方形、矩形的性質(zhì),勾股定理,以及折疊的性質(zhì),利用了數(shù)形結(jié)合及方程的思想,要求學(xué)生理解正方形是中心對稱圖形,其對角線的交點(diǎn)為對稱中心,借助圖形,利用勾股定理列方程的思路來解決問題,熟練掌握性質(zhì)與定理是解本題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知正方形紙片ABCD的邊長為2,將正方形紙片折疊,使頂點(diǎn)A落在邊CD上的點(diǎn)P處(點(diǎn)P精英家教網(wǎng)與C、D不重合),折痕為EF,折疊后AB邊落在PQ的位置,PQ與BC交于點(diǎn)G.
(1)觀察操作結(jié)果,找到一個與△EDP相似的三角形,并證明你的結(jié)論;
(2)當(dāng)點(diǎn)P位于CD中點(diǎn)時,你找到的三角形與△EDP周長的比是多少?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知正方形紙片ABCD的邊長為8,O是正方形的中心,⊙O的半徑為2.沿EF折疊紙片,使點(diǎn)A落在⊙O上的A1處,且EA1所在直線與⊙O只有一個公共點(diǎn)A1,延長FA1交CD邊于點(diǎn)G,則A1G的長是( 。
A、
19
3
B、6
C、
17
3
D、
20
3

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知正方形紙片ABCD的邊長為8,⊙0的半徑為2,圓心在正方形的中心上,將紙片按圖示方式折疊,使E A′恰好與⊙0相切于點(diǎn)A′(△EFA′與⊙0除切點(diǎn)外無重疊部分),延長FA′交CD邊于點(diǎn)G,則A′G的長是
19
3
19
3

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知正方形紙片ABCD的邊長為8,⊙O的半徑為2,圓心在正方形的中心上,將紙片按圖示方式折疊,使EA恰好與⊙O相切于點(diǎn)A′(△EFA′與⊙O除切點(diǎn)外無重疊部分),延長FA′交CD邊于點(diǎn)G,求A′G的長.

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