Question

【題目】等邊三角形△ABC，直線(xiàn)1過(guò)點(diǎn)C且垂直AC．

（1）請(qǐng)?jiān)谥本�(xiàn)1上作出點(diǎn)D，使得△ABD的周長(zhǎng)最�。�

（2）在（1）的條件下，連接AD，BD，求證，AD＝2BD．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）作點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連接AA′交直線(xiàn)1于點(diǎn)D，此時(shí)使得△ABD的周長(zhǎng)最小．

（2）在（1）的條件下，連接AD，BD，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性和30度角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半即可證明AD＝2BD．

解：（1）如圖所示：

作點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連接AA′，與直線(xiàn)l交于點(diǎn)D，

則點(diǎn)D即為所求作的點(diǎn)．

（2）根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知：

AC＝A′C，AD＝A′D，

∵△ABC為等邊三角形，

∴AC＝BC＝AB，∠ACB＝60°＝∠BAC，

∴A′C＝BC，

∴∠A′＝∠A′BC＝30°，∠A′＝∠DAA′＝30°，

∴∠ABD＝90°，

∴AD＝2BD．