Question

已知：如圖，拋物線C₁：交y軸交于點(diǎn)B，交x軸于點(diǎn)A、E（點(diǎn)E在點(diǎn)A的右邊）．且連接AB=

10

，cot∠ABO=3，Q（-2，-5）在C₁上．

（1）求拋物線C₁的解析式；
（2）若一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P自O(shè)B的中點(diǎn)H出發(fā)，先到達(dá)x軸上某點(diǎn)（設(shè)為N），再到達(dá)拋物線的對(duì)稱軸上某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)K）最后到達(dá)點(diǎn)B，求使點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路徑最短的點(diǎn)N，點(diǎn)K的坐標(biāo)，并求出這個(gè)最短總路徑的長(zhǎng)；
（3）設(shè)拋物線C₁的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)F，頂點(diǎn)為D，另一條拋物線C₂經(jīng)過點(diǎn)E（拋物線C₂與拋物線C₁不重合）且頂點(diǎn)為M（a，b）b＜0，對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)G，且以M、G、E為頂點(diǎn)的三角形與以D、E、F為頂點(diǎn)的三角形全等，求a、b的值（只需寫結(jié)果，不必寫出解答過程）

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）根據(jù)cot∠ABO=3，設(shè)OA=x，OB=3x，在Rt△AOB中，利用勾股定理列式求出x的值，從而得到點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后設(shè)拋物線C₁的解析式為y=ax²+bx+c，再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答即可；
（2）根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問題，找出點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，點(diǎn)H關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)H′，連接B′H′與x軸的交點(diǎn)即為N，與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為K，然后利用待定系數(shù)法求出直線B′H′的解析式，再令y=0求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，把拋物線對(duì)稱軸的x的值代入求出點(diǎn)K的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式列式求出B′H′，即最短路線的長(zhǎng)；
（3）先利用拋物線C₁的解析式求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，求出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而得到EF、DF的長(zhǎng)，然后根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，分EG與DF是對(duì)應(yīng)邊，EG與EF是對(duì)應(yīng)邊，點(diǎn)G在點(diǎn)E的左邊與右邊分別求出OG、MG的長(zhǎng)度，然后寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)，即可得到a、b的值．

解答：解：（1）∵cot∠ABO=3，
∴設(shè)OA=x，OB=3x，
則在Rt△AOB中，AB=

OA2+OB2

=

x2+(3x)2

=

10

x，
∵AB=

10

，
∴x=1，
∴OA=1，OB=3，
∴點(diǎn)A（-1，0），B（0，3），
設(shè)拋物線C₁的解析式為y=ax²+bx+c，
則

a-b+c=0 c=3 4a-2b+c=-5

，
解得

a=-1 b=2 c=3

，
∴拋物線C₁的解析式為y=-x²+2x+3；

（2）∵OB=3，
∴OB的中點(diǎn)H的坐標(biāo)為（0，

3

2

），
∴點(diǎn)H關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)H′的坐標(biāo)為（0，-

3

2

），
∵拋物線C₁的對(duì)稱軸為直線x=-

2

2×(-1)

=1，
∴點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)B′（2，3），
連接B′H′，與x軸的交點(diǎn)即為N，與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為K，
設(shè)直線B′H′的解析式為y=kx+b，
則

b=- 3 2 2k+b=3

，
解得

k= 9 4 b=- 3 2

，
∴直線B′H′的解析式為y=

9

4

x-

3

2

，
令y=0，則

9

4

x-

3

2

=0，
解得x=

2

3

，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（

2

3

，0），
當(dāng)x=1時(shí)，y═

9

4

×1-

3

2

=

3

4

，
∴點(diǎn)K的坐標(biāo)為（1，

3

4

），
B′H′=

(3+ 3 2 )2+22

=

97

2

，
即點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的最短總路徑長(zhǎng)

97

2

；

（3）令y=0，則-x²+2x+3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，0），
又∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4），
∴DF=4，EF=3-1=2，
∵以M、G、E為頂點(diǎn)的三角形與以D、E、F為頂點(diǎn)的三角形全等，
∴①EG與DF是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，EG=DF=4，MG=EF=2，
若點(diǎn)G在點(diǎn)E的左邊，則OG=EG-OE=4-3=1，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為M₁（-1，-2），
此時(shí)a=-1，b=-2，
若點(diǎn)G在點(diǎn)E的右邊，則OG=EG+OE=4+3=7，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為M₂（7，-2），
此時(shí)a=7，b=-2；
②EG與EF是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，EG=EF=2，MG=DF=4，
若點(diǎn)G在點(diǎn)E的左邊，則OG=OE-EG=3-2=1，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為M₃（1，-4），
此時(shí)a=1，b=-4，
若點(diǎn)G在點(diǎn)E的右邊，則OG=EG+OE=2+3=5，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為M₄（5，-4），
此時(shí)a=5，b=-4．

點(diǎn)評(píng)：（1）本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，
（2）利用軸對(duì)稱確定最短路線問題確定出點(diǎn)N、K的位置是解題的關(guān)鍵，
（3）主要利用了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，難點(diǎn)在于要分情況討論．