Question

1．如圖，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，D是邊BC上一動點（不與點B，C重合），∠ADE=∠B=α，DE交AC于點E，給出下列結論：①圖中有2對相似三角形；②線段CE長的最大值為6.4；③當AD=DC時，BD的長為$\frac{39}{4}$．其中正確的結論是（　�。�

• A． ①②
• B． ②③
• C． ①③
• D． ①②③

Answer 1

分析 ①根據有兩組對應角相等的三角形相似即可證明；
②由△CDE∽△BAD，BC=16，AB=10，設BD=y，CE=x，可得$\frac{AB}{DC}$=$\frac{BD}{CE}$，即$\frac{10}{16-y}$=$\frac{y}{x}$，整理得：y²-16y+64=64-10x，即（y-8）²=64-10x，由64-10x≥0即可解決問題．
③當DA=DC時，易證△ADC∽△BAC，得$\frac{AD}{BA}$=$\frac{AC}{BC}$，由此即可解決問題．

解答 解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠∠ADE=∠B=α，
∴∠ADE=∠C，∵∠DAE=∠DAC，
∴△DAE∽△CAD，
∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC，
∴∠ECD=∠BAD，∵∠C=∠B，
∴△ABD∽△DCE，
∴圖中有2對相似三角形，故①正確，
∵△CDE∽△BAD，BC=16，AB=10，
設BD=y，CE=x，
∴$\frac{AB}{DC}$=$\frac{BD}{CE}$，
∴$\frac{10}{16-y}$=$\frac{y}{x}$，
整理得：y²-16y+64=64-10x，
即（y-8）²=64-10x，
∵64-10x≥0
∴0＜x≤6.4，
∴CE的最大值為6.4，故②正確，
當DA=DC時，易證△ADC∽△BAC，
∴$\frac{AD}{BA}$=$\frac{AC}{BC}$，
∴$\frac{AD}{10}$=$\frac{10}{16}$，
∴AD=$\frac{25}{4}$，
∴BD=16-$\frac{25}{4}$=$\frac{39}{4}$，故③正確．
故選D．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，等腰三角形的性質、不等式的性質，二元二次方程等知識，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質，學會用配方法確定變量x的取值范圍，屬于中考常考題型．