Question

【題目】如圖，已知直線與軸、軸交與、兩點，拋物線經過點、.

備用圖

（1）求這個拋物線的解析式；

（2）點為線段上一個動點，過點作垂直于軸的直線交拋物線于點，交直線于點.

①點是直線上方拋物線上一點，當相似時，求出點的坐標.

②若，求點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①，②.

【解析】

（1）利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出點A，B的坐標，由點A，B的坐標，利用待定系數法即可求出拋物線的解析式；

（2）①設點P的坐標為（x，0），則點N的坐標為（x，-x2+x+2），點C的坐標為（-x，-x2+x+2），點M的坐標為（-x+2），進而可得出MN=-x2+4x，CN=|2x-|，由相似三角形的性質即可得出關于x的方程，解之即可得出x的值，進而可得出點C的坐標；

②過點N作NE⊥AB于點E，設點P的坐標為（m，0），則PM=-m+2，MN=-m2+4m，利用相似三角形的性質及特殊角的三角函數值可用含m的代數式表示出BM，ME，AE的長度，再利用勾股定理即可得出關于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論．

解：（1）當x=0時，y=-x+2=2，

∴點A的坐標為（0，2）；

當y=0時，-x+2=0，

解得：x=4，

∴點B的坐標為（4，0）．

將A（0，2），B（4，0）代入y=-x2+bx+c，得：，

解得：，

∴這個拋物線的解析式為y=-x2+x+2．

（2）①當△MNC∽△BPM相似時，如圖1所示．

設點P的坐標為（x，0），則點N的坐標為（x，-x2+x+2），點C的坐標為（-x，-x2+x+2），點M的坐標為（x，-x+2），

∴MN=-x2+x+2-（-x+2）=-x2+4x，CN=|x-（-x）|=|2x-|．

∵△MNC∽△BPM，

∴，即，

解得：x1=，x2=-（舍去），x3=1，x4=7（舍去），

∴或，

∴當△MNC∽△BPM時，點C的坐標為（）或（）．

②過點N作NE⊥AB于點E，如圖2所示．

設點P的坐標為（m，0），則PM=-m+2，MN=-m2+4m，

∴BM=PM=-m+2，ME=MN=（-m2+4m），

NE=2ME=（-m2+4m），AE=tan30°×NE=NE=（-m2+4m），

∴BM+ME+AE=AB，

即-m+（-m2+4m）+（-m2+4m）=，

整理得：（）m2-（）m=0，

解得：m1=0（舍去），m2=，

∴當∠NAB=60°時，點P的坐標為（，0），即．