Question

【題目】如圖，已知直線a // b，點(diǎn)A、E在直線a上，點(diǎn)B、F在直線b上，∠ABC＝100°，BD平分∠ABC交直線a于點(diǎn)D，線段EF在線段AB的左側(cè).若將線段EF沿射線 AD的方向平移，在平移的過(guò)程中BD所在的直線與 EF所在的直線交于點(diǎn)P．試探索 ∠1的度數(shù)與∠EPB的度數(shù)有怎樣的關(guān)系？

為了解決以上問(wèn)題，我們不妨從EF的某些特殊位置研究，最后再進(jìn)行一般化.

（特殊化）

（1）如圖，當(dāng)∠1＝40°，且點(diǎn)P在直線a、b之間時(shí)，求∠EPB的度數(shù)；

（2）當(dāng)∠1＝70 °時(shí)，求∠EPB的度數(shù)；

（一般化）

（3）當(dāng)∠1＝n°時(shí)，求∠EPB的度數(shù).（直接用含n的代數(shù)式表示）

Answer 1

【答案】（1）170°（2）見(jiàn)解析（3）①見(jiàn)解析②見(jiàn)解析

【解析】

（1）作PG∥a，根據(jù)平行線性質(zhì)和角平分線性質(zhì)可得∠GPB=180°－∠ABC=130°，計(jì)算即可；（2）作PG∥a，結(jié)合畫圖，分3種情況當(dāng)交點(diǎn)P在直線a上方，∠EPB＝20°；當(dāng)交點(diǎn)P在直線a、b之間，∠EPB＝160°；當(dāng)交點(diǎn)P在直線b下方，∠EPB＝20°；（3）根據(jù)（1）（2）情況，分2種情況①當(dāng)n＞50°時(shí)；②當(dāng)n＜50°時(shí)，各有3種情況.

（1）作PG∥a，

∴∠EPG＝∠EFC=400

∵a∥b

∴PG∥b

∴∠GPB＋∠CBD=1800

又∵BD是∠ABC平分線，且∠ABC=1000，

∴∠GPB=1800－∠ABC=1300

∴∠EPB＝∠EPG＋∠GPB=1700

（2）①當(dāng)交點(diǎn)P在直線a上方，作PG∥a，

∵a∥b

∴PG∥b

∴∠EPG=∠1, ∠GPB=∠DBC

∴∠EPB＝700－500=200

②當(dāng)交點(diǎn)P在直線a、b之間，作PG∥a，

∵a∥b

∴PG∥b

∴∠GPB=∠PBC=∠ABC=500,∠BFE＝∠EPG=1800-∠1

∴∠EPB＝∠EPG＋∠GPB=500+1800-∠1=2300－700=1600

③當(dāng)交點(diǎn)P在直線b下方，作PG∥a，

∵a∥b

∴PG∥b

∴∠EPG=∠1, ∠GPB=∠DBC

∴∠EPB＝700－500=200

（3）由（1）（2）得：①當(dāng)n＞500時(shí)，

交點(diǎn)P在直線a上方，∠EPB＝n－500

交點(diǎn)P在直線a、b之間，∠EPB＝2300－n

交點(diǎn)P在直線b下方，∠EPB＝n－500

②當(dāng)n＜500時(shí)，

交點(diǎn)P在直線a上方，∠EPB＝500－n

交點(diǎn)P在直線a、b之間，∠EPB＝1300＋n

交點(diǎn)P在直線b下方，∠EPB＝500－n